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OK IJ V H E S

Dt:

E: V E R D Ë T

P i; Il L I K K s

PAU LKS SOINS DE SES ELEVES

TOME III

PAKIS,

VICTOR MASSOiN ET FILS, KOITELUS,

l'LVCK l)K I/K(:OI.K-l)K-MKnE(;l\K.

Driiils il(> lri'i<liir(ioii cl ili- ■'(■iiiinIik'IJiiii n'Si'ito.

COIRS

DE PHYSIOIE

PIIOPKSSK À l.*KC<ll,E IMH.ITKCUMQI K

K. VERDKT

l'AB M ÉMILK FKRNKT

TOME II

PARIS

itii'iiitiK ptn Ai'Tdnistrii»' de son kxi:. lk tiAnni': dhs m:kap

A l'imfrimeriiî: iMPi<:itULF;

M in;i:c i.xix

COURS DE PHYSIQUE

PROFESSA

A L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE.

ÉLASTICITÉ ET 4G0USTIQUE.

NOTIONS GÉNÉRALES.

298. De l'élasticUé en général. — On désigne sous le nom de théorie de l'élaslicUé Tétude générale des relations que l'on peut établir, pour les différents corps de la nature, entre les diverses forces qui agissent sur eux, et leur forme, leur volume et leur état intérieur.

Lorsque, aux forces agissant sur un corps, viennent s'ajouter des forces nouvelles, ce corps est ordinairement modifié; mais, dans certains cas, il arrive que ces modifications disparaissent et que le corps revient à son état primitif dès que ces nouvelles forces cessent d'agir. C'est ce qu'on observe , par exemple , sur un ressort qu'on a fait fléchir par l'action d'une force extérieure, et qu'on soustrait en- suite à l'action de cette force; sur une corde à laquelle on a donné une certaine tension, inférieure à sa limite de résistance, /et qu'on abandonne à elle-même en supprimant cette tension; sur un gaz que l'on a comprimé , et qu'on laisse revenir à son volume primitif. Cette propriété générale, qui se manifeste à des degrés divers dans tous les corps, est désignée dans le langage ordinaire souô le nom d'élasticité : elle constitue la manifestation la plus évidente de l'in- fluence des forces extérieures sur la forme et le volume des corps; dès lors, on a été naturellement conduit à étendre cette désignation à la science qui a pour objet l'étude de cette influence.

Verdbt, II[. — Cours de pbys. II. i

2 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

On appelle fréqucmraent aussi élasticité, on mieux forces élastiques, lo système des forces intc-rieures par lesquelles les divers éléments d'un corps réafjissent les uns sur les autres, lorscpic des forces e\*ïé- rieures tendent h modifier leurs situations relatives.

299. Des méthodes employées dans l'étude de l'éliuiti- elté. — • On peut avoir recours, dans Tétnde de l'élasticité, n deux systèmes d'expériences bien distinctes.

Les unes sont des expériences cpi'on peut appeler statiques : les déterminations (pi'elles fournissent sont relalives à des élats d'équi- libre. Elles consistent h soumettre un corps à Taclion de forces dé- terminées, et à observer directemenl, lorsque son état est devenu invariable, les modificalions qu'il a subies. — Pendant lonjjtemps, les expériences de ce {jenre onl élé entreprises dans un bul exclusivemeni |)ratique, o{ n'ont paru fournir à la science propreuient dile (pi'un petil nombre de faits isolés, (/est seulement à une époque récente qu'on a chercbé.dans ces faits d'observation, les fondements d'um» doctrine générale, et c'est dans ce sens qu'ont élé dirigés les tra- vaux de Navier, de Lamé et (ùlapeyron, de Poisson, de (lauchy. Les principales difficultés que présentont ces recliercb(\s résultent, en général, de la petitesse des efl'ets dont la détermination doit fournir les éléments du phénomène.

Les autres sont des expériencos dynamiques : ellos ont pour objet l'étude des mouvem(»nts vibratoires. Lorsqu'un corps, après avoir ét<'' modifié par l'action de certaines forces, revient à son état primitif par la suppression de ces mém<»s forces, il ne s'arréto pas innni^ diatemenl à cet état primitif : il lo dépasse, de manière à éprouver une modification inverse de la première, et la répétition de cette» double alternative constitue un mouvement vibratoii'e (pii devrait f>er8ister indéfiniment s'il ne se comnuiniipiait peu à peu aux cor|>s voisins. L'élude de ces mouvements |)eul faire connaître les lois des forces élastiques intérieures, et cei^ lois elles-mêmes conduisent à déterminer l'action modificatrice des forces extérieures.

Lorsque les vibrations d'un cor|)s sont suflisamment rapides, et

qu'elles |>euvent se transmettre à notre organe auditif par l'inter-

* inédiaire de l'air ou de tout autre milieu pondérable, elles donnent

Dl! SON ET DE SES CARACTÈRES. .1

naissance à In sonsation spt^ciale qu'on d(5signe par los expressions de sm el de hruit, expressions qui sont à peu près synonymes l'une de l'autre. Or les caractères de cette sensation sont liés d'une manière remarquable à ceux du mouvement vibratoire lui-même, et peuvent servir à les déterminer. De là un moyen d'inveshjjation des effets de l'élasticité, moyen souvent plus facile à appliquer que l'observation directe des phénomènes d'équilibre.

300. Du but spécial qu'on »e proposera dans l'étude de l'aeoustique en partieulier. — Les résultats du dernier fi;enre d'evpériences qui vient d'Afre indirpu», considérés en eux-mêmes el réunis à un certain nombre d'études qui appartiennent plutôt à la physiologie qu'à la physique, ont formé pendant longtemps la science connue sous le nom (ïncoustiqve; cette science, ainsi cons- tituée, était considérée comme une des divisions primordiales de la physi(pie, division comparable à \ optique, par exemple.

Il convient aujourd'hui de modifier un peu les délimilalions de ces diverses sciences : de laisser à la physiologie l'étude spéciale des sensations auditives, el de réunir simplement, aux expériences sta- tiques sur les effets de l'élasticité, les expériences qui importent aii physicien par les renseignements qu'elles lui fournissent sur les forces intérieures des corps. On devra seulement emprunter à la physiologie du sens de l'ouïe les notions qui sont indispensables pour faire usage des sensations auditives comme d'un moven d'in- vestigation physique.

DU SON ET DE SES CARACTERES.

301. Béilnitions. — On appelle non ou hrnii toute impression |)roduite sur le sens de l'ouïe, et, par extension, tout phénomène physique qui peut donner naissance à une telle impression.

L'oreille distingue dans ses sensations trois qualités différentes : , rintensité, la hautetir, k timbre. Les différences d'intensité el de hau- teur des divers sons constituent des caractères nettement définis et faciles à apprécier: il est inutile de les définir autrement que par les modifications bien connues des sensations auditives. Dans le langage scientificpie, l'expression timbre désigne, d'une manière générale,

1 .

V

Ix ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

Tensemble des qualités par lesquelles deux sons de même hauteur et de même intensité peuvent se distinguer l'un de l'autre.

On considère ordinairement comme constituant un hruxt toute im- pression dans laquelle l'oreille n'apprécie qu'imparfaitement le carac- tère de la hauteur. 11 n'y a cependant rien d'absolu dans cette défi- nition, et, dans bien des circonstances, l'oreille la moins exercée sait discerner les rapports de hauteurs de divers bruits successifs, qu'il lui paraîtrait im|)ossible de classer dans l'échelle musicale si elle les entendait séparément. C'est ainsi qu'une série de trois tuyaux métal- liques, fermés à l'une de leurs extrémités et contenant des pistons, peut être réglée de telle façon qu'en enlevant successivement les pistons des trois tubes on produise une suite de bruits donnant la sensation des notes d'un accord parfait. Un résultat semblable peut être produit avec trois petites lames de bois qu'on laisse successive- ment tomber sur le sol. — On reviendra d'ailleurs plus loin sur les caractères particuliers des bruits.

302. Un «on e»t toujours produit par un mouvement vibratoire. — Un son proprement dit est toujours produit par les vthrntiom des corps, c'est-à-dire par des mouvements tels, (|ue les positions relatives de points très-voisins les uns des autres diffèrent constamment très-peu des positions relatives qui conviennent à l'état de repos. — Pour constater le mouvement vibratoire dont est animée» une corde tendue, quand on lui fait rendre un son, il suffit de re- marquer le gonflement qu'elle semble éprouver, surtout vers son milieu : à cause de la persistance des impressions lumineuses, la corde nous apparaît alors comme occupant à la fois les diverses po- sitions qu'elle prend successivement pendant son mouvement.

Un grand nombre d'autres expériences peuvent servir à manifester les vibrations des corps sonores. — Si l'on fixe très-près de la paroi d'une cloche de verre l'evtrémité d'une petite pointe métallique, de façon cependant que la pointe ne touche pas la cloche quand elle est au repos, et si l'on vient ensuite à faire rendre un son à cette cloche, elle produit contre la pointe une série de petits chocs; en posant la main sur la cloche, on sent un frémissement qui ne cesse que lorsque le son vient à s'éteindre. — Si l'on place du mercure

DU SON ET DE SES CARACTÈRES. 5

dans rinlérieur d'un timbre sonore, il se produit, dès que le timbre est choqué par un marteau ou frotté avec un archet, des ondula- tions à la surface du liquide : ces ondulations se reproduisent d'une manière continue, tant que dure le son rendu par le timbre. — Enfin, on aura à revenir plus loin sur la disposition particulière qu'affecte le sable répandu sur la surface d'une plaque vibrante, sur les mouvements que manifeste le sable placé sur une membrane mince qu'on descend dans l'intérieur d'un tuyau sonore, etc.

303. lie «on ne peut être perçu par l'oreille qu'autant qu'il lui est transmis par une suite eontinue de milieux pondérables. — Lorsqu'on place sous le récipient de la machine pneumatique un timbre muni d'un petit marteau mis en mouvement par un mécanisme d'horlogerie, on constate que, dès que le vide est suffisamment parfait, le son du timbre frappé par le marteau cesse d'être perceptible. De même, en faisant le vide dans un ballon de verre au milieu duquel est placée une petite clochette suspendue par un fil de lin, on peut constater, en agitant le ballon, que le son de la clochette cesse d'arriver à l'oreille.

Au contraire, les divers milieux, solides, liquides ou gazeux, sont aptes à la transmission des sons, pourvu qu'il y ait continuité entre le corps sonore et l'oreille. (î'est ce que prouvent un grand nombre de faits énumérés dans tous les ouvrages élémentaires.

30/i. Ii'intensité du son dépend de l'amplitude des vi- brations. — Pour constater que l'intensité du son dépend de l'am- plitude des vibrations qui le produisent, il suffit de faire vibrer une corde et de l'abandonner ensuite à elle-même; le son, conservant toujours la même hauteur, perd graduellement son intensité : en observ.ant la corde avec attention, on voit diminuer en même temps l'amplitude de ses vibrations. — Une observation semblable peut d'ailleurs être réalisée avec tout autre corps sonore.

305. lia hauteur du son dépend du nombre des vibra- tions exéeutées en un temps déterminé. — En observant les vibrations d'une corde fixée piu* ses deux extrémités, ou d'une lame

fi ELASTlClTIi ET V<;OliSTIQl]E.

ûlaslique lixée par l'une de ses extrémités, et donnant à l'une ou à l'autre une longueur suHisanle ]>our que l'œil en puisse suivre le inouvenieni, on constiitu :

1* Que ces vibrations sont périodiques; qu elles soûl en outre i»o- chrones, e'est-à-dire que leur durée est indépendante de l'amplitude;

•i° Que le nombre des vibrations e\écutées dans un temps donné ;iugnieiile à mesure qu'on diminue lu longueur de la corde ou de Ir I;iinc vibrante;

3" Que, lorsque l'on diminue la longueur au dolà d'une rerlaine limite, les vibrations, trop rapides pour être suivies par l'œil, pro- duisent un Sun:

fi" One, si l'on ivduit au-dessous de cctle limite la longueur du ht corde ou de U lame vibrante, la bauteur du son s'élète de plus en plus.

Ces diverses observations conduisent à admettre que la perre|ilion de la hauteur implique la périodicité du mouvement vibratoire, et que la bauteur d'un son parlittulier dépend du nombre des vibrations de même durée <|ui sont cirecluées en un temps donné.

Par suite, uii bruit qui ne paraît pas avoir de laractère musical déterminé ne peut résulter que d'un mouvement vibratoîi'e non

périodique. — l'onr distinguer ncllenient les bitiiUi des wii», il bnit reniarqtjer que, dans un grand nombre de cas, l'absence appaix'iile

DU SON ET DE SES CAKAGTERES. 7

de périodiciUî est due à la coexislence de plusieurs mouvements vi- bratoires périodiques, de différentes hauteurs : il est quelquefois possible d'isoler un ou plusieurs de ces éléments d'un bruit. — D'autres fois, la faible durée d'un son ne permet pas, au premier abord, d'en apprécier la hauteur, mais le caractère musical devient sensible si l'on augmente la durée du son. C'est ce que montre l'ap- pareil connu sous le nom de harre tournante de Savarl. — Une barre de fer AB (fig. 281) tourne autour d'un axe M\ perpendiculaire à sa longueur : on lui donne un mouvement de rotation plus ou moins rapide, à l'aide d'une roue R dont le rayon est très-grand par rap- port à celui de l'axe de rotation M\; à chaque demi-révolulion, la barre traverse une ouverture rectangulaire CDEF, (pi'elle remplit pres(|ue entièrement. A chaque passage de la barre dans cette ou- verture, on entend un bruit intense, sans caractère nuisical bien dé- lini; cependant, lors(|u'on accélère le mouvement et que la sensation devient continue, on entend un son très-grave, dont la place sur l'échelle musicale n'est pas douteuse pour une oreille exercée.

306. Vibrations complètes ou o»cillations double». —

J.orsque, aj)rès avoir exercé sur un corps une action qui dérange ses molécules de leurs positions d'équilibre, on abandonne ce corps à lui-même, les forces élasti([ues développées par de petits déplace- ments étant sensiblement proportionnel es à ces déplacements eux- mêmes, le mouvement des divers points est, dans la plupart des cas, analogue à celui d'un pendule : chaque vibration est alors la succession de deux oscillations égales et contraires, décomposables elles-mêmes en deux moitiés symétriques par rapport à la position d'équilibre.

L'usage le plus ordinairement adopté par les physiciens qui se sont occupés de l'étude de l'acoustique consiste à définir la hauteur d'un son par le nombre des oscillations ou demi-vibrations effectuées en un temps donné. On ne s'y conformera pas dans ce cours, et l'on adoptera la convention faite en optique, c'est-à-dire qu'on défi- nira toujours un mouvement vibratoire par le nombre de ses vibra- tions complètes. — Les phénomènes offerts par les roues dentées de Sa\arl, ou. par la sirène de Cagniard du Latour, prouvent d'adleurs, comme on va le montrer, que les vibrations formées de deux oscil-

8 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

latioiiK égaies el contrairps ne sont pas seules aples à produire <le^

sons véritabies.

307. Roaea dentée» de SavArl. — Les luues dentées em- ployées par Savart sonl en général au nombre (ie <|uatpe (fig. 982): elies sonl montées sur un axe MN, auquei on peu! imprimer un

mouvement de rotation en le sub- V À stituant à celui de la barre tour-

^p ^g^^- -.. nante, dans l'appareil représenté par

^ly A^H^^^^^^-'' la figure q8i. On place une carie ^^^^^B^E|^^^^^^ sur le support <|ui est fné en avani, ^^^B^T^^^^^^^^lT de façon que les dents de l'une ^^^B '~ des roues viennent successivement

I^H rencontrer celte carte. Ces chocs

MBg rHff répélés produisent un son, et

I Hh l'expérience, même quand on la

l'ait sans effectuer aucune mesure, montre que le son est d autant plus aigu que les dents sont plus nombreuses, ou <{ue le mouvement de la roue est plus rapide. — On indiquera plus loin comment l'ap- pareil permet de déterminer le nombre des impulsions imprimées à la carte en un temps donné.

308. sirène de Cngnlard de Ii»(*ur. — L'appareil imstginé par Cagniard de Lalour. et désigné par lui sous le nom de sirène, com- prend, comme pièces e.ssentieltes , une caisse cylindrique de lailon (I, danfe laquelle on comprime de l'air en montant le tube T (fig, a831 sur une soulHerle; dans le plateau MN, qui forme la base supérieure de cette caisse, sont pratiquées des ouvertures également espacées sur une circonférence ayant son centre sur l'axe même de la caisse. Au- dessus de MN, et à une très-petite distance, est un plateau mobile PQ, fixé à un axe d'acier qui peut tourner autour de 00' : ce plateau PQ est lui-même percé d'ouvertures, en nombre égal à celui des ouver- tures de MN, el situées sur une circonférence de même rayon. Deux ouverlures rorrespondantes*r, s, pratiquées obliquement l'une el l'auti'e par rapport au plan des plateaux, comme l'indique la coupe

DU SON ET DE SES CARACTÈRES. 9

représentée dans la figure a8S bis, ont d'ailleurs leurs axes inclinés en sens contraire, dans un plan perpendiculaire au rajon du plateau. L'air accumulé par la souHleric dans la caisse 0 ^'écoule seule- ment quand il y a correspondance entre les trous du plateau mobile e( ceux du plateau fivc; mais, le gaz arrivant par chacun des canaux '

I peu [irès normaiemcnt à la paroi opposée du tanai lispondant s, il en résulte des pressions qui déter- minent le ujouvement du plateau PQ autour de son ave, La cor- respondance des ouvertures est alors supprimée, mais elle se rélahlît rjuand le plateau supérieur a tourné d'une quantité égale à la distance anj'ulaire de deu\ ouvertures consécutives, et ainsi de suite.

La vites.se de relation du plateau PQ. qui va d'abord en augmen- tant, acquiert ensuite une valeur que l'on peut maintenir constante pendant quelques instants, en exerçant sur le soufflet de la soutSerie une pression convenable. Les chocs périodiques produits contre l'air extérieur pur l'air qui s'échappe donnent naissance à un son dont la hauteur est variable avec le nombre des ouvertures et avec la vitesse de rotation Imprimée au plateau mobile. — On indiquera plus loin comment ou peut déterminer le nombre des Impulsions communi- quées à l'air en un temps donné.

10 ÉLASTICITÉ KT ACOUSTIQUE.

309. li^ |iéfi««llcité du mauvèmeiit est le seul élément i^éeewiaîre m 1» pereeptipn île la hauteur. — Dans les deux appareils que l'on vient de décrire, les mouvements communiqués à Tair sont évidemment périodiques; mais on doit remarquer:

r Que l'air, chassé de sa position primitive par une impulsion brusque, ne prend pas, pour revenir à cette position, un mouve- ment égal et contraire à celui qui l'en a écarté;

9° Qu'enlre deux impulsions successives l'air est probablement quelque temps en repos, et qu'assurément il n'accomplit pas, de l'autre côté de sa position d'équilibre, une excursion égale 'à celle qu'il avait accomplie sous l'influence de l'impulsion;

3" Qu'une sirène et une roue dentée, lorsque le nombre des chocs périodiques qu'elles produisent en un temps donné est le même, donnent des sons de même hauteur, bien que les mouvements de l'air ne soient pas identiques dans les deux cas;

4° Que le son d'une sirène ou d'une roue dentée a même hauteur (|ue le son d'un corps qui vibre en vertu de son élasticité, si le nombre des chocs périodiques est égal au nombre de vibrations du corps élas- tique, c'est-à-dire double du nombre des oscillations égales et con- traires dont chaque vibration de ce dernier corps est composée^*^.

Le caractère musical des sons produits par ces deux appareils n'étant pas d'ailleurs inoins accusé que celui des sons d'une corde ou d'une verge, on voit que la périodicité du mouvement vibratoire est le seul élément nécessaire à la perception de la hauteur. — Dès lors, pour définir la hauteur, il est rationnel de donner la durée de la période entière plutôt que celle d'un sous-multiple, c'est-à-dire le nombre des vibrations complètes plutôt que le nombre des oscillations.

Les courbes ci-contre (fig. a 8 4) indiquent une représentation géo- métrique du mouvement que l'on peut supposer communiqué à l'air dans les divers cas qui [> récèdent. Dans la construction de ces courbes, on a pris des abscisses proportionnelles aux temps, et des ordonnées proportionnelles aux valeurs des déplacements qui leur correspon-

^') On peut, par exemple, constater (^uUine corde très-longue, dont ia vue peut suivre Ie8 vibrations, exécute, en un temps donné, un nombre de vibrations qui varie en raison Iliverse de sa loni'ucur. Au moyrn de cette loi , on peut évaluer le nombre des vibrations (Piino rorde «pii fait etiteiidre un son, et le roiii|KinM* au nombre des cJiocs périoiliqucN d'une sirène ou d'une roue dentée qui pi-oduil un sou de nièuie liaulcur.

i>ij soiv ET DK SES <;auactèkes. u

deal- La courbe A représente le iiioiiveineiit toiiiinu nique à l'air par un corp (luiil le^ vibrations sunt semblables a celles d'un pendule. pir une corde ou une verye par exemple. La courbe B re|)r<!sente

le mouvement tel qu'on peut l'imaginer dans le ciis de la roue dentée ou de la sirène, en supposant que clia(|ue impulsion «oit suivie d'un repos absolu. Les courbes (1 et I) représentent le mou- vement dans le cas de la roue déniée el dans le cas de la sirène, en supposant (jue chacjue tibralion soit formée de deu\ oscdlalions inégales el de sens contraires, suivies d'une (lériode de repos.

On conç^roil. sans jtlus de détails et ît la .'liiniile inspection de ces ligures, comment deux sons qui ont même période et qui apportent à l'oreille, en un même temps, la même «piantité de forces vives, peuvent cependant dilTérer entre eii\ d'une infinité de manières.

3t0. DétenulBstlsN du nambre Mbsalu dca vibratlona effeMuéra en un temps déterminé. ■ — La figure -)83 indique les détails priiK-i|iaLi\ d'un s\slt'ine d'enyrenajjes (|ni est joint à la -sirène , et qui constitue un cumfitmi- des vibrations. Sur l'aw du pla-

la ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

teau mobile, on a pratiqué en EF un pas de vis qui engrène avec une roue dentée R, en sorte que, à chaque tour du plateau PQ, la roue H avance d'une dent; une aiguille fixée à l'axe de cette roue, et mobile sur un cadran situé en arrière de la figure, avance alors d'une division : cette aiguille marque donc les nombres de tours elFectués par le plateau PQ. Une autre roue S est placée de l'autre côté de la vis EF, mais elle n'engrène pas avec elle : cette roue est destinée à marquer les nombres de tours de la roue R elle-même. Pour cela, on a fixé à la roue R un appendice a qui est entraîné avec elle; à chaque tour de R, cet appendice fait avancer d'une dent la roue S, et fait marcher d'une division l'aiguille qui est fixée sur son axe. Donc, en définitive, l'aiguille de la roue R compte les tours du plateau; et si cette roue a cent dents, comme c'est le cas ordinaire, l'aiguille de la roue S compte les centaines de tours.

La plaque verticale qui porte les axes des deux roues peut rece- voir de petits mouvements latéraux, à droite ou à gauche, selon ({u'on appuie sur le bouton A ou sur le bouton B, Pendant que l'on fait varier graduellement le son de la sirène, cette plaque doit être |)oussée vers la gauche, de manière que la roue R n engrène pas avec EF, et (|ue les aiguilles restent immobiles sur leurs cadrans. A l'instant où le son atteint la hauteur qu'on veut lui donner, on presse sur A , de manière à établir rengrenagc et à mettre ainsi en mouvement les roues et les aiguilles. Enfin, quand on entend le son perdre de sa constance, on presse sur B, de manière à supprimer l'engrenage. Les indications des deux aiguilles fournissent les nombres de tours effectués par PQ; le produit de ce nombre par le nombre des ouvertures du plateau donne le nombre des vibrations effectuées pendant la durée de rex[)érienc(». — Quaiit à cette durée elle-même, on la détermine au moyen d'un chronomètre à pointage, dont on prcîsse le bouton aux deux instants où l'engrenage est établi ou supprimé.

A l'axe (les roues dentées de Savart (tig. m8îi) est adapté d'or- dinaire un compteur analogue au précédent : il donne le nombre des tours effectués par l'axe, et par suite le nombre des vibrations elfec- tuées dans un tem|)s donné.

Enfin on peut déterminer directement le nombre des vibrations

DU SON ET DE SES CARACTERES. 13

elTectuées par un corps sonore quelconque, au moyen des compteurs graphiques, dont la première réalisation est due à Duhamel. La fi- gure "jSâ représente l'un de ces compteurs, disposé pour déterminer

le nombre des vibrations ext'-cutées par une corde qui vibre transver- salement, — Ln tambour rvtindriquc TT' est animé d'un mouvement de rotation uniforme uulour de sou ave : il est mû par un mécanisme d'horlojrerie placé dans la botle H-. sa surface est couverte de noir de fumt^e. Un diapason I) est rais en vibration , à l'aide d'une pédale qui est adaptée à la partie inférieure de la tige PQ et qui forre la pièce de bois a à passer entre les deux branches : la branche supé- rieure de ce diapason porte un petit stylet qui oscille alors verti- calepienl, et qui vient tracer une ligne sinueuse sur le noir de fumée pendant que ic cylindre se déplace, La corde AB, qui est soumise à l'expérience, est tendue dans une direction perpendiculaire à l'axe du cylindre: on a fixé en son milieu un stylet qui vient tracer une autre ligne sinueuse sur le noir de fumée, quand la corde est ébran- lée en même temps que le diapason, — It suffît de prendre le rap- port des nombres de sinnosités des deux courbes, dans l'inlervallc de deux génératrices déterminées du cylindre, pour avoir le rapport des nombres de vibrations exécutées par les deux corps sonores dans un

ih ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

même inlervalle de temps. Si donc on connaît le nombre absolu dos vibrations exécutées par le diapason dans un temps déterminé, on en conclura le nombre absolu des vibrations exécutées par la corde dans le même temps ^^^

311. Détermlnatloii du rapport des nomlireii de iribra- tioiis de deum ••us. — itoiianiètre* — L'expérience montre que les nombres* de vibrations exécutées dans un même temps par une corde flexible, dont la tension reste constante et dont on fait varier la longueur, sont en raison inverse des longueurs des parties vi- brantes. Dès lors, pour déterminer le rapport des nombres de vibra- tions qui correspondent à deux sons déterminés, il suffît de prendre une corde présentant une tension convenable, et de faire varier la longueur de la partie vibrante de manière à la mettre successivement à Tunisson de chacun d'eux; le rapport inverse des deux longueurs donnera le rapport des nombres de vibrations.

On emploie ordinairement, pour cette détermination, un instru- ment connu sous le nom de sonomètre (fig. Sai) : il se compose d'une caisse sonore, en bois de sapin, sur laquelle sont tendues des cordes métalliques dont on peut régler à volonté la tension. De petits chevalets, mobiles dans le sens de la longueur des cordes et placés sur des règles divisées, permettent de mesurer avec précision les longueurs des parties vibrantes.

312. lilmltes des sons pereeptlMes. — Le nombre des vi- brations exécutées par un corps doit, pour produire sur l'oreille la sensation d'un son, ê(re compris entre deux limites que divers phy- siciens ont cherché à déterminer.

Ces limites ne paraissent pas avoir une fixité absolue : elles sem- blent varier un peu, soit avec Tintensilé du son, soit avec la sensi- bilité j)ro[)re de Toreille de l'observateur. Il est cependant à peu près impossible (h percevoir un son lorsque le nombre des vibrations

^•) Pour ohlenir lo nombrr nbsolii dos vibralions du diapason dans un temps donné, il suflîtdo connaili'C la nlcsse angulaire du tainlmur cylindrique, el de rouipler le nombre al>solu des sinuosités tracées par le diapason entre deux génératrices situées. Tune par rapport à l'autre, A une distance angulaire déterminée. K. V.

INTERVALLES MUSICAUX. 15

est inf<^rieur à ifi par seconile, ou snpt^rieur à Syooo par se- conde.

VALEURS MJMERIQIES DES PRINCIPAUX INTERVALLES MUSICAUX.

313.' Intenralles ntusleaux* — CoiMMinnaiiecfi et tflMM- nances* — Vintervalle musical de deux sons est caractérisé, non pas par les nombres absolus des vibrations qui les produisent, mais par le rapport de ces deux nombres.

Le tableau suivant indique les valeurs assignées par Texpérienfe aux principaux intervalles usités dans notre musique. — On peut diviser ces intervalles en cotisonnances- ou dissonances, selon que la production simultanée des deux sons qui constituent chacun d'eux produit sur l'oreille une sensation agréable ou une sensation désa- gréable.

INTKRVAIXES PRINCIPAUX.

C0>S0!\>'A\CFS.

RAPPORTS DRS KOURRRS nr. VIRRtTIO\!«.

Unisson i

Oclnv«» 'i

Sixte majeure ~

Quinte juste

Qiiarte jnsto '

Tierce majeure y

Tierce mineure. . '

DISSONANCES.

RAPPORTS DRS '«OMBR»^ OB VIRRATIOXS.

Seconde majeure ou Ion nitijeur ^

Seconde mineure ou ton minenr —

9 .

Demi-Ion majeur —

Demi-ton mineur (dièse ou l>emol) —

(]omma (inlervalle regardé en général comme négli-

s-'»'") È

16 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

On peut remarquer que, si la valeur numérique de chaque in- tervalle est ramenée à une fraction irréductible, comme cela a été fait dans le tableau qui précède, les deux termes des fractions qui cor- respondent à des consonnances sont toujours plus petits que ceux des fractions qui correspondent à des dissonances ^^l

316. Ajecords parfaits* — On appelle en général accord parfait une série de trois sons ou noies dont la succession ou la produc- tion simultanée produit sur l'oreille une sensation particulièrement agréable; on désigne ces notes, dans Tordre de hauteur croissante, sous les noms de tonique, médianie et dominante.

Dans Raccord parfait majeur^ l'intervalle de la médiante à la to- nique est une tierce majeure; l'intervalle de la dominante à la to- nique est une quinte juste.

Dans r(icforrfj[;aiy«/fmfWur, l'intervalle de la médiante à la tonique est une tierce mineure; l'intervalle de la dominante à la tonique est encore une quinte juste.

On voit que les divers intervalles qu'offrent entre eux les sons de chacun de ces deux accords parfaits sont les suivants :

RAPPOBTS DBS NOMBRES DE YIBRATIOKS.

I Tonique i ) , „ 5 , .

} Intervalle - (tierce niaieure).

Médianie ^ )].

' { \~) 6

^ Dominante. .., ]\ Intervalle ^ = - (tierce mineure).

I' Tonique 1 ) g

Intervalle- (tierce mineure). Médiante \\ %

r ( )

Dominante M Intervalle y— ^ ) (tierce majeui-e).

Chacune des deux espèces d'accords parfaits est donc formée d'une

^'^ La connaissance de ces divers inlenalles, et en particulier de ceux auxquels l'oreillo est particulièrt^menl sensible, peut élre commode pour simpliBer la comparaison des conditions de production des sons, dans diverses expériences d^acousliquc. Dans les re- cherches précises, on doit faire usage exclusivement de VuniMoUy que loule oreille peut apprendre à apprécier avec une exactitude complètement satisfaisante.

INTERVALLES MUSICAUX.

17

tierce majeure et d*une tierce mineure : l'ordre de succession de ces tierces diffère seul de l'un à l'autre.

315. Qammeii. — On désigne sous le nom général de gamtne la succession d'un certain nombre de sons, intermédiaires entre une tonique déterminée et son octave aiguë, et dont les nombres de vi- brations sont à celui de la tonique dans des rapports fixes. — Les valeurs de ces rapports présentent, dans notre musique, deux séries un peu différentes l'une de l'autre : ces deux séries constituent la gamme majeure et la gamme mineure,

La série des rapports de nombres de vibrations qui constitue une gamme majeure est la suivante. (On a pris comme exemple le cas où la tonique est la note ut,)

GAMME MAJEURE.

%

m

mmam

OOTATI.

Rapports des nombres! de vibrations à celui /

TOXIQCK.	8US- TORIQDI.	uimtfnË.	3008- OOMIHAHTR.	DOmifARTR.	808 DOMUfAHTI.	smiBLB.
(«')	(ré)	(mi)	(/«)	(,<,/)	(/«)	•

de la tonique. Intervalles ....

9 8

5 l

h 3

3

1

5 3

9 8

10

9

i6 15

9 8

10

?

8

(t*^)

— 9

i6 t5

«5 8

On voit immédiatement que les diverses notes d'une pareille gamme peuvent se répartir eUes-mémes en trois séries, formant cha- cune un accord parfait majeur, savoir, dans l'exemple choisi :

ut mi sol

TinOI MAJIUM. TIHCB MIHRVRK

sol si

TinCI HAJRURR. T1RMB HimOBR.

fa la ut

re^ /

nRRCR MAJRURS.

TinOR HINIURR.

Le premier de ces trois accords a pour tonique celle de la gamme; le second a pour tonique la dominante du premier; le troisième, a

Vbbdit, IIL — Cours de phys. IL a

18

ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

pour dominante Toctave de la tonique du premier. — -Les intervalles de tierce majeure et de quinte juste, qui constituent l'accord parr- fait majeur, suffisent donc, quand on les combine avec l'intervalle d'oct«ve, pour reproduire toutes les notes de la gamme majeure ^*^

La série des rapports de nombres de vibrations qui constitue une gamme mineure est la suivante. (On a pris comme exemple le cas où la tonique est encore la note ut.)

GAMME MINBURE.

Rapports des nombres de vibrations à celui de la tonique

Intervalles

TOinQnc.

("0

SUf- TORIQDI.

(ré)

9 8

MSDUIfTI.

(mi hém.)

MUS- DOMINANTB.

(/«)

DOMINANTC

SD»- DOMINANTI.

(sol) (/fiWra.)

SINSIBLI.

(«ibém.)

OCTATI.

(«ij

6 5

4 3

3

9

8 5

8 9

il i5

10

9

? 8

i6 t5

9

8

io

Oq voit que les diverses notes d'une gamme mineure peuvent se

(') En prenant pour tonique Tune quelconque des notes de la gamine, et cberchant à reproduire la série des intervalles de la gamme elle-même, on est conduit à Temploi des (iièêeê et des bémols. — Les notes qui sont diésées ou bémolisée^ conservent alors leurs noms primitifs; mais ces noms s^appliquent à des nombres de vibrations qui sont aug- mentés dans le rapport ^, ou diminués dans le rapport ^.

Cesi ainsi qu*en prenant pour tonique d^une gamme majeure, non plus la note ut, mais sa dominante iol, on trouve que les notes successives, telles qu'elles existaient dans la gamme d'iif , c'est-à-dire

êol la xi «L ré^ m»„ fa^ »oL

ut^ ré^ mi^ fa^ ^.^

présentent entre elles les intervalles convenables pour former encore une gamme ma- jeure, à la condition de diéser la note sensible /a^, c'est-à-dire de multiplier le nombre des vibrations par —* La nouvelle série de sons ainsi obtenue forme alors une mélodie dans laquelle les intervalles successifs sont, ou rigoureusement égaux à ceux qui ont servi à déBnir la gamme d^uf, ou égaux à ceux de la gamme d'ut multipliés par g^, ce qui est considéré comme équivalent pour Toreille. — De même, en prenant pour tonique d'une gamme majeure la dominante re'de la précédente, on est conduit à diéser encore la note sensible ut, et ainsi de suite.

Si maintenant on veut former une gamme majeure dont la dominante soit la tonique de la gamme d'ti(, ou plutôt son octave, et si Ton prend les notes

fa toi la ii ut^ ré^ mi^ fa^^

on trouve que, pour avoir les intervalles qui caractérisent une gamme majeure, il faut

INTERVALLES iVfOSICAUX. 19

répartir en trois séries, formant chacune un accord parfait mineur, savoir, dans l'exemple actuel :

ut mi bémol sol

Tuici miiniia. tiibci majbou.

«0/ si bémol ré

Tinoi MINBOBR. TIRKCI MAJIOM.

fa la bânol ut^

TIMCR MIRBDIB. TIBBCB MAJBUBB.

Ici encore, le premier de ces accords mineurs a pour tonique celle de la gamme; le second a pour tonique la dominante du pre- mier; le troisième a pour dominante l'octale de la tonique du pre- mier. — Les intervalles de tierce mineure et de quinte juste, qui constituent l'accord parfait mineur, sullisent donc, avec l'intervalle d'octave, pour reproduire toutes les notes de la gamme mineure ^*l

Léinoliser la sous-dominaDle tt, c'est-à-dire en niultipiier le nombre des vibrations par ^ ; la nouvelle série de sons ainsi obtenue forme encore une mélodie présentant des intervalles égaux à ceux de la gamme d'ut, ou à ces mêmes intervalles multipliés par ^. — . De même, en formant une gamme majeure dont la dominante soit la tonique /a de la gamine qui précède, on est conduit à bémoliser encore la sous-dominante fm, et ainsi, de suite.

Les dièses et les bémols servent également , comme on Tindique plus loin, à former les gammes mineures sans employer de nouveaux noms pour les notes qui les constituent, bien que plusieurs de leurs intervalles différent des intervalles qui leur correspondent dans les gammes majeures. É. F.

(*) Les intervalles de la gamme mineure, tels qu^ils sont indiqués ici, sont ceux que les musiciens emploient en effet quelquefois en exécutant la ganune mineure descendanle, c'estrè-dire en allant de Toctave è la tonique : on voit que la gamme ainsi formée contient toutes les notes qui entreraient dans la formation d'une gamme majeure dont la tonique serait d^une tierce mineure au-dessus de la tonique actuelle, c'est-à-dire, pour l'exemple qui a été choisi , dans la formation de la gamme de mt bémol majeur, — Lorsqu'on exécute la gamme mineure oêcendêntef c'est4-dire lorsqu'on passe de la tonique è Toctave, il est indispensable, pour satisfaire ToreiUe, d'élever la note sensible d'un demi-ton, c'est-à- dire, dans le cas actuel, de substituer au «t hémol un ti naturel, — Les trois accords parfaits dont la combinaison peut reproduire la gamme mineure ne sont donc plus trob accords parfaits mineurs, mais seulement deux accords parfaits mineurs et un accord par^ fait majeur. É. F.

'2,

PROPAGATION ET PRODUCTION DU SON

DANS LES GAZ.

PROPAGATION DU MOUVEMENT VIBRATOIRE BANS LES GAZ.

316. On a déjà étudié précédemment les relations qui existent, dans l'état d'équilibre > entre les volumes des gaz et les pressions qu'ils supportent. On peut donc aborder immédiatement ici l'étude des mouvements vibratoires dont les gaz sont le siège : ces mouve- ments eux-mêmes devront s'expliquer au moyen des lois que les ex- périences d'équilibre ont fait connaître.

D'ailleurs, si l'on connaît complètement l'effet produit par l'ébran- lement d'une portion infiniment petite d'un corps, il sera facile ensuite d'en conclure l'effet résultant d'un système quelconque d'ébranlements communiqués à toutes les parties de sa masse; en d'autres termes, si les phénomènes de la propagation du mouvement vibratoire sont entièrement connus, on en pourra déduire les lois de sa production. Il convient donc que Tétude de la propagation précède celle de la production du son.

317. PropaffAtlon d'un ébranlemeiit unique dans un tuyau cylindrique indèflnl de petit diamètre* '^ Veiïei d'une impulsion de très-courte durée, produite à l'origine d'nn tuyau, étant de comprimer la première tranche de l'air qu'il contient et de lui communiquer une certaine vitesse, on peut assimiler la réaction de cette première tranche, sur la série indéfinie de tranches égales dont la colonne d'air peut être censée composée, à la réac- tion qu'exerce une bille élastique en mouvement sur une série in- définie de billes égales et placées h la suite l'une de l'autre, dans la direction du mouvement de la première. — Quand on effectue cette expérience avec des billes d'ivoire suspendues par des fils de soie, comme on le fait dans tous les cours, on constate que la force

PflOPAGATION DU MOUVEMENT VIBRATOIRE DANS LES GAZ. 21 vive comiuunîquëe'par la première bille à ia série se transmet aux billes successives, en sorte que la dernière, ayant même masse que la première, acquiert une vitesse égale à celle que possédait la première iiu moment du cboc. On peut donc admettre que, dans un tuyan cylindrique, un ébranlement unique, dirigé de l'ouverture du tuyau vers l'intérieur, c'est-à-dire ayant pour effet de comprimer la première tranche d'air, se communique successivement et intégralement à toutes les tranches de même masse dans lesquelles on peut décom- poser la colonne gazeuse qui remplit le tuyau , chaque tranche ren- trant eu repos après avoir transmis son mouvement à la suivante.

Par analogie, on est conduit à admettre que, dans le cas oij U tranche d'air qui est à l'origine du tuyau est dilatée par aspiration au lieu d'être comprimée par impulsion, la transmission de cette dilatation se fait encore d'une manière semblable , d'une tranche à l'autre, dans toute la longueur du tuyau.

Les consé<|uences de ces analogies sont d'ailleurs confirmées par l'application d'une analyse rigoureuse à U question. — Si , dans une région limitée AB (fig. a86 ) d'un tuyau indéfini dans les deun sens, OB imagine que les diverses sections éprouvent, à un instant déterminé.

de très-petites condensations ou dilatations , variables d'une section à l'autre suivant une loi donnée mais quelconque, et que, en même temps, les diverses sections de celte région soient animées de très- petites vitesses parallèles à l'axe et distribuées également suivant une loi déterminée, cette perturbation se décompose en deux ébranlements distincts, qui se propagent dans les deux sens opposés avec la même vitesse, de telle façon qu'à une époque quelconque t les molécules d'air ébranlées se trouvent contenues dans deux régions, A'B' , A'B' égales en longueur à AB et ayant leurs niiheux 0' et 0" à la même

22 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

^listance ai du point 0, milieu de AB. Les condensations et les vi- tesses sont distribuées de telle façon, dans ces deux ébranlements, qu'aux divers points de A'B' le rapport de la vitesse à la conden$ation soit constant et égal à la vitesse de propagation a y et qu'aux divers points de A'^B'^ ce même rapport soit constant, mais*égai k—a, c'est-à-dire à la vitesse de propagation prise en signe contraire ^^\

318. Pr«pasati«ii d'un ni^iiirenieiit vlliratoire quel- ••nque dans m tujau cyliiidrique indéfliii* — Des résul- tats que l'on vient d'indiquer, on passe , suivant les procédés ordi- naires de la méthode infinitésimale, au cas d'un mouvement vibra- toire quelconque, en substituant à ce mouvement vibratoire une série discontinue d'ébranlements de plus en plus rapprochés. — On arrive ainsi aux conséquences suivantes :

1° Un mouvement vibratoire, entretenu par une cause quelconque en une section donnée du tuvau, donne naissance à deux mouve- tnents vibratoires qui se propagent en sens opposé et avec des vi- tesses égales.

9* Si le mouvement vibratoire est périodique, les mouvements propagés sont périodiques, et leur période a la même durée.

319. CTmi pmrUmuÊàmr d*uB mouvement vilimigige dans leqpMl eliaqipg vibratiau peut se déeampaaeg eu deux aertllatiaue eautrairea, STmétriqpMa l*uue de l*auii«. —

Lorsque l'on considère, en particulier, le cas où la tranche jd!aifjqui est placée à l'origine d'un tuyau cylindrique indéfini est animée d'un mouvement vibratoire tel que chaque vibration puisse se décomposer «n deux oscillations contraires, symétriques l'une de l'autre, il est facile de représenter graphiquement l'état de l'air aux divers points du tuyau, à des époques déterminées : c'est ce qui arrive, par

^*) Ed employant les con? entions généralement adoptées sur les signes des vitesses, cette règle peut s^exprimer en disant que le rapport de la vitesse absolue à la condensation ou i la dilatation absolue est, dans les deux ébranlements A'B', A"B', égal à la vitesse de propagation , et qu^il y a condensation dans les points où la vitesse est dirigée dans, le sens de la propagation, tandis qu'il y a dilatation dans les points où ia vitesse est dirigée en sens contraire.

Si, aux divers points deTespace AB primitivement ébranlé, ia vitesse est rtïpréseniér

PROPAGATION DU MOUVEMENT VIBBATOIRE DANS LES GAZ. S3 eiemple, quand l'air est mis en mouvement, à l'origine A d'un tuyau ^une grande longueur, par la branche d'un diapason vibrant. — Pour représenter l'état de l'air dans chaque tranche, on prendra Boe abscisse égale à la distance de cette tranche à l'ouverture, et une ordonnée proportionnelle à la vitesse dont elle est animée : on conviendra d'employer des ordonnées positives pour les vitesses dirigées dans le sens de la propagation des ébranlements, et des ordonnées négatives pour les vitesses dirigées en sens contraire.

Alors, si l'on suppose que la branche du diapason parte de l'ex- trémité de son oscillation qui est la plus éloignée de l'ouverture du tuyau, de manière à produire d'abord une compression sur l'air intérieur, on voit immédiatement que, après ttn quart de vibra- lion, c'est-à-dire à l'instant oti la branche passe par la position qui serait sa position d'équilibre, les vitesses d'ébranlement dans la' portion du tuyau mise en mouvement sont représentées par une

eonrbetelle que BM(âg. 987), l'ordonnée AB représentant la vitesse maiimum, et le point M étant le. point de l'aie du tuyau auquel arrive, à cet instant, la première impulsion communiquée par la branche du diapason au commencement de son mouvement. — Dans toute la partie AM du tuyau, l'air éprouve d'ailleurs, à ce même instant, une condensation qui est décroissante de A en M.

par/(x), la condeosaliou par F(x), il eiisle évidemmnit loujoure deiii fonctioiu <p(x) ei 1^ (i) telle», qoe I'od ait

«1 l'on peul regarder l'ébraidement initial comme la «iperpoàtion de deux autres, dan» ■(•quda les vilewea initiales seraient refpectiveiDen(9(x)el <^(£),el lea condenealioni initiaiea ^-^ — - et — ^-^ — • Ce sont ces deux éhnmlementB drimenltires tpii m prô- pagent en aens eppoac , avec la même viteme.

2fi ÉLASTIcrTÉ ET ACOUSTIQUE.

Après une tUmi-vibration , c'est-à-dire à l'instant où la branche du diapason atteint l'extrémité droite de son oscillation, la longueur de la partie ébranlée AM (fig. 988) est double de la précédente : les

Fie- >8«-

vitessefi d'ébranlcmunl suiit représentées par une lourbc telle i|uç ABM, symétrique par rapport à l'ordonnée maximum NB. — Dans toute cette partie du (uyau, l'air éprouve encore, à l'instant consi- déré, une condensation qui est croissante de A en N. et décrois- sante de N en M.

Après HiictibralloH, c'ust-à-<lirir à l'instant oii la branche du dia- pason, revenant pour la première fois à son point de départ, a ac- compli deux oscillations contraires et symétriques, la longueur do

la partie obranlée AM (Hg.	■J89) est quadruple de celle ([iii	éhiil
		1
		1

ébranlée après un quart de vibration : les vitesses d'ébranlement sont représentées par une courbe telle que ACPB.M, dans laquelle le point P est au milieu de AM; les deux ordonnées nia\ima NB et QG sont égales et de signes contraires, et correspondent respectivement aux milieux de AP et de PM; la branche de courbe PCA est symé- trique de la branche PBM, par rapport au point P. — Dans la partie PM du tuyau, l'air éprouve des condensations qui sont croissantes de P en N, décroissantes de N en M; dans la partie AP, il éprouve des dilatations qui sont croissantes de A en Q, décroissantes de Q en P; enfin, la série des dilatations de A en P présente des v«-

PROPAGATION DU MOUVEMENT VIBRATOIRE DANS LES GAZ. 95

leurs égales et contraires à celles de la sërîe des condensations de P en M.

Dès lors, il est aisé de voir que, pour représenter l'état de l'air dans le tuyau à une époque quelconque, il suffira d'élever, au point correspondant à l'ouverture A, une ordonnée AD (lîg. 390) repré- sentant, pour sa grandeur cE pour son signe, la vitesse de la pre-

mière tranche d'airà cet instant; de construire, à partir du point D, une branche de courbe DR égale à celle t^tie suivrait une ordonnée égale et seiublablenient placée dans la courbe représentée par la ligure aSg; enfin de reproduire, à la suite du point H, une suc- ■ cession de branches de courbes KCP, PBM, etc., alternativement égales aux deux branches de cette raéme figure.

On appelle longueur d'ondulation, dans un mouvement vibratoire de période déterminée, la distance AM (fig. 98g) à laquelle le mou- vement se propage pendant la durée d'une vibration, ou, ce qui revient au même, la dislance comprise entre deux points S et T (fig. 990) correspondants à deux ordonnées consécutives SG, TH, égales en grandeur el de même signe. — Une portion du tuyau cor- respondante à une branche de courbe lelle que PBM constitue une demi-onde condensante; une portion correspondante à une branche telle que RCP constitue une demi-onde dilattinle.

Deux demi-ondes consécutives sont toujours de noms contraires : leurs points de jonction , tels que R, P, M , dans lesquels la vitesse d'ébranlement est nulle et oiî l'air n'est ni comprimé ni dilaté, constituent des nccudt. — Les points tels que Q, N, qui corres- pondent aux plus grandes valeurs absolues des ordonnées, et dans lesquels la vitesse d'ébranlement est maxima, ainsi que la dilatation ou la condensation, constituent des ventre». — Si l'on considère divers instants successifs, on voit que ces nœuds et ces ventres se

^ ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

dépiacent dans la longueur du tuyau, avec une vitesse égalé à la vitesse de propagation elle-même.

Il est important de remarquer quer, d'après les considérations qui précèdent, Tintensité du son dans une colonne cylindrique de gaz doit être indépendante de la distance à l'origine.

Un des exemples les plus simples et les plus fréquents de vibra- tions décomposabies en oscillations contraires et symétriques est celui où le mouvement peut se représenter par une formule telle que

r exprimant la vitesse à un instant quelconque l, A étnnt une cons- tante, et T exprimant la durée d'une vibration complète.

Si la vitesse de la première trancbe d'un tuyau est représentée par une pareille formule, il est facile de trouver une expression de la vitesse d'une tranche située à une distance x de l'ouverture. — Soit ah vitesse de propagation d'un ébranlement, dans le gaz qui remplit le tuyau. Chaque ébranlement, après s'être produit à l'ou-^

verlure, met un temps- pour parvenir & la trancbe considérée; donc la vitesse d'ébranlement de cette tranche à l'instant ( est celle

qui existait a l'ouverture au temps ^ ~ ~ • elle a pour valeur

X

I

A • ^

y = Asm ait ry ou bien

v = Asin 97r f ;« — -iFpJ ;

or, si l'on^désigne par X la longueur d'une ondulation, on voit que le produit oT n'est autre chose que X , en sorte qu'on a

«; = A sin 3 w f «; — ^- j

(I)

^') La vitesse de vibration d'une traiidie quelconque du tuyau étant, à Piiistaut t,

v^ \ sin ^^ ( mt"" 5" ) ' *t h ^itt*»»!; élaiil fjjalo a la déiivw -j- *^'*' rf>J«r*' parcouru m, on voit que lo déplace*

PROPAGATION DD MOUVEMENT VIBRATOIRE DANS LES GAZ. 17

3S0. PMpacaiiMi «MM VM mIHmi UéMAmI mi toMi MiM.

— L*ébranlenieiii primitif étant circonscrit dans une peûte sphère de rayon e ^^\ on démontre qu'à Tépoque l les parties ébranlées du gai sont toujours comprises entre deux sphères dont les rayons sont mi — i et al+<» la vitesse de propagation a étant la même que dans le cas d*un cylindre indéfini. — De là résulte évidemment que , dans ce cas, la forme des ondes est sphérique.

Lorsque le rayon des ondes est suffisamment grand « on démontre : 1* que les vitesses des molécules deviennent perpendiculaires è la surface des ondes, quelle que puisse être leur direction originelle; d* que, sur un rayon donné, les vitesses varient en raison inverse de la distance au centre. — La seconde propriété est une conséquoBoe èft ia pfffièro «t do fiûidpe de la cona^rvation des forées nnê, pBpwpie la htùB vive «t proportionnelle au carré de la viteMê, et qM la -mwn i|m reçoit le aaeuvemenl est proportionnelle au c«nré

maat u dct mMâiM de eetto tranche fiar rapport m le position d'équilibre est , è chaque iottant,

^ AT /t x\

Soient « et « -4- ^m ies déplacements de deux tranches infiniment voisiner , dont les distances è Tori^ne sont s eix-hdn: rintervalie de ces deux tranches, qui dans Tétat de repos est dx, devient ix-him dant Pétat de naonvement; par suite, la densité de la coudiedlair

comprise entre elles diminue dans le rapport de i -f- -«- A Punité; en d^autres termes,

— j- est la eondentttion. Mais, de la valeur précédente de m , on tire

du AT . / < x\

•a hîen, m remplaçant A par «T,

rfu I . . / 1 x\ t^

dx a \T aJ a

Le rapport de i» vilesM i h eondensalion est donc eonataot et'égat k a » ainsi që'il est

^*) La forme spbériqoe, assignée i Pâiranlement, n'est une condition restrictive qu'en apperenee, tant qtt*on laisse indéterminée la distribution des condensations et des vitesses dbna Pinlérîeiir de la sphère. Quel que soit le système des points réeUcment ébranlés, on peottoajoure concevoir une sphère qui les contienne tous, et prendre cette sphère entière poor le Keu de fébrenlement primitif, en attribuant des vitesses et des condensations ini- tiales nulles aux points où il n*y a , en réalité, aucune* perturbation de IVlat de repos.

28 ÉLASTICITÉ ET acoustique: '

du rayon de la coudie sphérique; celte propriété signifie d'ailleurs que, dans un milieu Jndéfiili, l'intetuité du son varie en raiion invene du carré de la dutanee à Corigine.

Onpasseensuile, comme précédemment , d'un ébranlement unique à un mouvement vibratoire continu et périodique. — On voit alors que, si l'on veut représenter par une courbe les vitesses d'ébranle- ment à un instant donné, sur un rayon quelconque el à une grande distance du centre d'ébranlement, on a, dans le cas où le mou- vement vibratoire est du i^enre de ceux que l'on vient de considérer en dernier lieu, une courbe telle que celle de la figure 291 '". Les nœuds M', M, P, Q, R sont encore équidistants, mais tes ordonnées

maiima vont sans cesse en diminuant, de chaque demi-onde MAN à la demi-onde suivante NBP, en raison inverse de la distance au centre de vibration. — Dans ce cas, la formule de la vitesse à un instant 1, pour un point situé à une distance :e, est ' '

■ " ' A . / 1 x\ '■ "

Enfin, il est aisé de voir que le principe général de la superposi- tion des petits mouvements permet de passer du cas d'un très-petit ébranlement sphérique au cas d'un système d'ébranlements quef- Gonques. /

321.

••■ étatm !«• fm, — En partant de ce principe que la vitesse de propagation a, dans uogaz, est égale à la racine carrée du rapport de l'accroissement absolu de la pression à l'accroissement absolu de

''' II11 siipptMu, dan» ceUe figure, que le centre il'él)raiil«aKnl wlsiliié i rniv grainle disUiice Mir la ligue MR, i (gauche.

VITESSE DU SON DANS LES GAZ. 29

la densité» et appliquant simplement la loi de Mariotte, on arrive à la formule donnée par Newton

"'^s/^'k^' +'''')'

Dans cette formule, g désigne l'intensité de In pesanteur, dans le lieu que l'on considère; m est la densité du mercure à la tempéra- ture zéro; h est la hauteur barométrique actuelle, réduite à zéro; Dq est la densité du gaz^ sous la pression barométrique actuelle et à la température zéro; a est le coefficient de dilatation du gaz; T est la tempérciture actuelle ^^K

Mais, en raison de la mauvaise conductibilité des gaz et de la rapidité de la propagation du son , la chaleur qui est dégagée en un point de la masse, au moment où il s'y produit une condensation, ne peut se répandre immédiatement dans la masse tout entière; de même, la chaleur qui est absorbée en un point, au moment oii il s'y produit une dilatation , ne peut lui être immédiatement restituée par le reste de la masse gazeuze. De là résulte que la pression dans l'état vibratoire ne doit pas varier suivant la loi de Mariotte, mais suivant la loi qu'exprime la relation

dans laquelle 6 désigne la variation de température qui est produite par une variation relative S de la pression éprouvée par le gaz , cette variation étant une condensation ou une dilatation, selon que S est

t') La formule de Newton peut se déduire de Tënôncé qui précède, de la manière sui- vante. Puisque A est la colonne de mercure à zéro qui repr^nte la pression initiale du gax, BÎ la preasion devient A (1-4-7'), ^ densité D du gai devient, en vertu de la loi de Mariotte, 0(1 + 7). Donc le rapport de Paccroissomenl ahsolu de la pression à Taccroisse- aemënt absolu de la densité est

Dy ' Mf) supprimant Je facteur y et remplaçant D par ^— 9 on obtieot

•V

E. F.

30 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE,

positif ou négatif. — D'autre pari, on a démontré ^^^ que, si fon idé- signe par i H- y le rapport - de la chaleur spécifique sous pression constante à la chaleur spécifique sous volume constant, on a

e _ y

\H-«T/

d'où l'on tire

Par conséquent, on a

ou, en remplaçant y par »

9

ou enfiji, en négligeant S^ qui est supposé très^petit.

Ainsi, quand la densité — î— augmente de — - — , la pression gmh augmente de

ce qui conduit à la formule donnée par Laplace

"=V'^(*+«^)?

c . .

La valeur de-'« qui constitue l'un des éléments fondamentaux»

des gaz, se trouve ainsi liée, comme on le voit, à l'étude des vibra-^ lions sonores.

322. BéMiliAtA ffMirBi» |Mur rempérlcM^e. — Les anciennes observations de Biot, faites au moyen des tuyaux destinés à con- duire les eaux d'Arcueil, ont donné pour la vitesse de propa-

(*) Voir le cours de première année, tome I", p. i8o.

■ VITESSE DU SON DANS CES GAZ. 31

galion du soB dans l'air, à la température de 1 1 degrés, la valeur 3AA mètres par seconde : ce résultat est d'ailleurs indépendant de la hauteur et dé l'intensité du son considéré. — Le nombre iàà diffère, d'environ 5 mètres, du nombre qu'on aurait dû trouver à la même température dans une atmosphère indéfinie; mais la lon- gueur des tuyaux emplovés n'était que de (fSi mètres, et la durée de propagation était inférieure à trois secondes : on ne saurait donc regarder les expériences de Biol comme exactes à 5 mètres près.

On doit à M. Leroux <les expériences sur la propagation du son dans l'air, exécutées également en opérant sur nn tuyau cylin-: drique : on indiquera seulement ici le principe de ces expériences. — Un long lube de zinc ACB, courbé eu forme d'U, et ayant une

longueur totale de -jïi mètres, était fermé à ses deux extrémités par deux membranes de caoutchouc. Une petite tige métallique, voisine de l'extrémité de la branche A, portail une capsule fulminante, en sorte que, au moment oij cette tige venait choquer un obstacle, l'explosion produisait deux ondes qui ébranlaient successivement les membranes A et B. — Deux stylets enduits d'encre rouge, que ces membranes menaient en mouvement, laissaient leurs marques sur une règle verticale tombant librement, sous t'influence de la pe-; santeur, d'un mouvement uniformément accéléré dont l'accélération était connue : le temps néceitsaire à la transmission du son se trou- vait ainsi mesuré '".

'." A ce mode d'earegUtrement des temps quj correspoodeiit au cummenceoient el à la fia de l'eipériEDce, H. Leroux en a Hilwtitué ua aulre fduï précù (ilnnaju dt chaut rt dt piynfiw, fi' «érie, l. XII). — DaDB l'ai^reil qui a é\i emplojé en dernier lieu.

32 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

Les expériences exécutées en 1788 aux environs de Paris, pour étudier la propagation du son dans une atmosphère indéfinie, et surtout celles qui furent faites en 189s, par la méthode des coups alternatifs, pour éliminer l'influence de la direction du vent, ont fourni pour valeur de la vitesse de propagation, à la température de 1 6 degrés, le nombre 34o'",89 P*^ seconde. En divisant ce résultat par v/i +aT, on trouve, pour la vitesse de propagation à la tempé- rature zéro, une valeur sensiblement égale à 332 mètres.

Quant h la comparaison des résultats expérimentaux avec les in- dications théoriques, on peut dire que les observations faites dans les régions polaires ou équatoriales indiquent une influence de la

température qui s'accorde avec la formule théorique. — Les valeurs

C ♦

dû rapport — « déterminées par des expériences directes sur les effets

calorifiques de la compression et de la raréfaction de l'air ^'^ diffè- rent sensiblement de celles qu^on déduirait de la formule de Laplace, appliquée au nombre 339 mètres; mais la différence paraît expli- cable par le défaut de précision des expériences directes ^*.

rébranlement donl on inesurail la vitesse de propagation ëlait produit par le choc d*iin mar- teau sur la membrane qui fermait la branche A (fig. 999). Un petit pendule I, quifaîsMt partie à\\n circuit électrique, était écarté de la verticale par Tébranlemenl lui-méroc, et produisait ainsi une rupture du circuit, au moment du départ de Tonde solitaire qui se propageait dans le tuyau; uu pendule semblable 1', placé contre la membrane qui fermait la branche B, produisait un effet semblable au moment de Tarrivée de celte onde. Enfin, une disposition convenable faisait éclater, à chacun de ces deux instants, une étincelle d^in- duction qui laissait sa trace sur une couche de substance sensible comme celles qu^oQ emploie dans la photographie. — M. Leroux a trouvé ainsi , pour valeur de la vitesse de propagation dans Tair prc, privé diacide carbonique, et à la température zéro, le nombre 33o*,66. É. F.

^'^ Voir le cours de première année, tome 1", p. 180 et suiv.

(>) Des expériences de M. Regnault, terminées depuis plusieurs années, mais publiées seulement en 1868 {Coinpten rendu» de V Académie de» »cience»y t. LXVI, p. s 09), ont conduit à des résultats qui différent en plusieurs points de ceux qui avaient été obtent» josque-l 1 sur la vitesse de propagation du son.

Diaprés la théorie , une onde plane devrait se propager indéfiniment dans un tuyau cylindrique rectiligne, en conservant la même intensité. Les expériences de M. Regnault démontrent, an contraire, que Vintentité de Vonde diminue »ucce»»ivement ^ et d^ autant plu» vite que le tuyau a une phi» faible »ection. — Dans ces recherches, on produisait des ondes d^intensité égale avec un même pistolet, chargé toujours de t gramme de poudre, à Tori- fice de conduites de sections très-différentes, et on cherchait à reconnaître la longueur dn parcours au bout duquel le coup ne s'entendait plus à Toreille. On cherchait, de phis.

INTERFÉRENCES DES MOUVEMENTS VIBRATOIRES. 33

323. Interférences des meu ventent» vibrateires qui produisent les sons. — Lorsque plusieurs mouvements vibra- toires, capables chacun de produire un son, coexistent dans un même milieu, il y a, en chaque point et à chaque instant, superpo- sition des petits mouvements dus à chacun des mouvements vibra-

à délenniner le parcours, beaucoup plus loug, au bout duquel Tonde silencieuse ceséait de produire une impression sur des membranes disposées de manière à présenter ane très-grande sensibilité. — La yrineipaU cause d^affaiblissemenl de Ponde, dans son trajet, est la perte de force vive qu^ellc éprouve par la réaction des parois élastiques du tuyau.

L'expression delà vitesse de propagation donnée par Lapiace ne contenait pas Texpres- sion de Tinlensité de Tonde. D'après une formule générale donnée par M. Regnault, édite vitesse doit être d'autant plus grande que Tintensité de Tonde est plus considérable. Or puisque, dans un tuyau cylindrique, Tintensité de Tonde va successivement en décroissant, la viteiH de propagation doit aller en diminuant, à mesure que Ton considère des points plus éloignés de Torigine. C'est ce que confirme Texpérience; et on trouve, en outre, que les vitesses moyennes /tmif f s, c'est-à-dire celles qui correspondent à Tonde assez affaiblie pour ne pins marquer sur les membranes, ont une valeur qui diminue avec le diamètre du tuyau. — Dans un tuyau ayant un diamètre de l'fio, la vitesse moyenne de propa- gation, dans Tair sec et à zéro, pour une onde produite par un coup de pistolet et comptée depub la boucbe dé Tarme jusqu'au point où elle est tellement affaiblie qu'elle nMmpressionne plus les membranes les plus sensible, est de 33o"',6. Dans ce même tuyau , la vitesse minima , celle que possède Tonde la plus affaiblie, est seulement de dSo'jdo.

Selon M. Regnault, Taflaiblissement de Tonde ne provient pas seulement d^ la perte de force vive qui a lieu à travers la paroi du tUyau. La surface du tuyau elle-même parait exer- cer sur Tair intérieur une autre action, diminuant notablement son élasticité sans chan- ger sensiblement isa densité : diaprés cette action, la vitesse de propagation d'une onde de même intensité dans' des tuyaux rectilignes serait d'autant plus faible que le tuyau aurait une section moindirs.. — U est probable que la nature de la surface exerce une in- fluence sur ce phénomène. C'est ce que confirme un fait signalé par Texpérience jour- nalière. Dans les égouls de Paris qui offrent une grande section , on prévient les ouvriers par le son de la trompette; or on a reconnu que les signaux portent incomparablement plus loin dans les galeries dont les parois sont recouvertes d'un ciment bien lisse, que dans celles qui sont formées par de la meulière brute.

Les expériences tendent à montrer, en outre, que la vitesse de propagation d'une onde dans un gaz est kn même, quelle que toit la pression que le gaz supporte.

Enfin des tuyaux de diverses longueurs (667 mètres au plus) ayant été remplis de di- vers gai, on a cherché si les vitesses de propagation sont, ainsi que la théorie l'indique- rait, inversement proportionneUes aux racines carrées des densités. L'expérience a montré que cette loi peut être admise, mais seulement comme une loi limite, à laquelle les gaz satisferaient exactement si on les mettait dans les conditions où ils se comportent cotnme des gax'parfait».

D'autres expériences faites à Tair libre , par la méthode dés coups de canon réciproques, ont montré que la vitesse de propagation diminue encore , dans ce cas, à mesure que le parcours augmente. — La correction de température, telle qu'on Tadmêt généralement, parait suffisamment exacte. E. F.

ViBDBT, 111. — Cours de phys. II. 3

Si ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

toîres, ou interférence. — C'est ce qu'il est aisé de constater par l'ex- périence, dans quelques cas particuliers.

Un tuyau bifurqu<' ABC (fig. 393) étant dloposé de façon que l'une «seulement des ouverlures inférieures , B par eiemple, soit placée au- dessus d'une plaque vibrante , on observe , si les dimensions et la position du tuyau sont conve- nables, un renforcement du son de la plaque; si maintenant on place les deux ouvertures B, C au-dessus de deux régions de la plaque qui vibrent simultanément en sens opposé, le tuyau ne produit plus aucun effet de renforcement.

Deux tuyaux T et T (fig. agi)- présentant des

ouvertures en A et A', communiquent ensemble

par leur autre extrémité B : ils ont été réglés

*'*'9S. de façon que chacun d'eux, placé séparément

au voisinage d'une mâme région d'une plaque vibrante P, renforce

le son qu'elle produit; on établit alors la communication en B,

et on place les ouvertures A et A' de part et d'autre de la plaque P mise en vibration : on constate que le renforcement est nul.

HÉPLBXION ET REFRACTION DU SON.

32A. KéflexlaK «I'um ébMnlcBuni* m rextrteiHé ferMéc

d*un tmjtm, — Kn continuant, comme on l'a fait plus haut (31 7), d'assimiler la propagation d'un ébranlement dans un gai aux réac- tions successives exercées par une série de billes élastiques dont l'une aurait reçu une certaine quantité de forces vives, on est conduit à cette conclusion que, à l'extrémité fermée d'un tuyau, la réflexion d'un ébranlement condensant doit être assimilée au choc d'une bille

RRFLEXiON DU SON. 35

élastique contre un obstacle fixe. Dès tors il doit y avoir, après la réflexion , changement de signe dans la vitesse d'ébranlement elle- même; mais l'ébranlement, qui se propage en sens inverse , demeure toujours un ëbranlement condensant. — Dell, par analogie, ofl£st conduit à admettre que, dans la r^xion d'us ébraolnD^it Jâa- tant. Il doit y avoir aussi changeHMBt de signe dans ta vitesse d'ébranlement, mais que l'ébraiilemefit réflédiî doit rester dïrtaat. — Ces conclusions sont d'ailleurs coaénnées par une aiudyse ng/m- reuse et par les vérifications expérimentales des conséquences qu'on en peut déduire.

.H25. RéOcKlaB 4'UH ébranlemcKt m l'extrémlié ouverte d'un tu7Mi. — L'analyse traite rigoureusement le problème de la propagation du son dans deuK tuyaux de diamètres inégaux , AM , MB (fig. 395), placés à la suite l'un de l'autre, en admettant que la

pression du gax n'éprouve pas de variation.s brusques au point de réu- nion M. — La nécessité de celte continuité de la pression est d'ailleurs évidente, car, si elle n'avait pas lieu, une tranche infiniment mince de gaz, limitée d'une part en M et soumise sur ses deux laces à des pressions différant entre elles d'une quantité finie, prendrait une vitesse infinie en un temps fini. Il faut donc d'abord que la conden- sation varie d'une manière continue au point M, comme dans toute l'étendue des tuyaux , et que la variation discontinue des vitesses ne soit pas incompatible avec cette condition.

Or, si l'on considère, dans les deux tuyaux , deux plans perpendi- culaires» l'axe, PQ, FQ' (fig. 3^6), menés à des distances infiniment petites du point M ; et si l'on appelle v et v', à un instant donné, les vitesses des molécules qui se trouvent sur ces deux plans, o- et <t' les sections des deux tuyaux, il est clair que vcrdt exprime le volume de

36 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIOOE-

gaz (]ui, pendant un lemps infiniment court dt, pénètre par le plan PO dans l'esparc infiniment petit PQI*'Q'; de même, v'ir'dt ex- prime le volume qui en sort par le plan P'Q'. I^a masxp infiniment petite FQP'O' reçoit donc, dans le temps dt , un accroissement proportionnel h

[v<r~-v'a-')dt.

Si l'on veut qu'il n'en résulte '''ï- •s'^' qu'un accroissement infiniment

petit de densité, compatible avec la continuité de pression, il faut que celte expression soit infiniment petite du second ordre, c'esl-à- dire qu'en appelant v. et rÔ les limites vers lesquelles tendent t> et v', à mesure que PQ et P'Q' se rapprochent indéfiniment du point M, on ait

En partant de ces conditions et des propriétés générales des gaz, on démontre :

i" Qu'un ébranlement produit dans la partie AM (fig. a^S) donne naissance, en arrivant au point M, à un ébranlement trans- mis dans MB et à un ébranlement réfléchi dans la direction MA;

3' Que , si la section du second tuyau est très-grande par rapport à celle du premier, l'ébranlement transmis est négligeable; alors» dans l'ébranlement réfléchi, la vitesse est égale en grandeur et en signe à celle de l'ébranlement incident , et la condensation est égale et de signe contraire '" ;

3* Qu'il ne se produit au point M lui-même, dans la même hy- pothèse, que des condensations ou dilatations négligeables. — Cette troisième proposition est une conséquence de la seconde , puisqu'en M à une condensation incidente se superpose toujours une dilatation réfléchie , et vice venâ.

11 est naturel d'étendre ces conséquences au cas 01^ un tuyau de petit diamètre débouche dans une atmosphère indéfinie. Toutefois,

W C'est-à^lire qup, si l'^hranlemenl iacid«nl était condeuMnl, r^rtnlenieQl réfléchi «st dilatant, et réciproquenwnL

RÉFLEXION DU SON. 37

on ne doit les rejjarder, dans ce cas, que comme une première ap- proximation de la vérité. — Le fait même de la réflexion d'un ébran- lement à l'extrémité ouverte d'un tuyau a d'ailleurs été observé direc- tement, dans les expériences de Biot sur la vitesse de propagation du son dans les tuyaux de conduite des eaux d'Arcueil. Le bruit produit par un coup de pistolet, à l'une des extrémités du tuyau, donnait naissance à plusieurs sensations perceptibles, d'intensités décrois- santes, après des intervalles de temps t, 3(, 5(,

326- EfTetri prsdulta, dans leit turitux, pitr 1» supcrp*- •Ittsn 4e l'onde dlreete et de l'onde réfléchie. — Xœuda Ame*

et Tcntree flxea. — Il résulte de ce qui précède que, s'il se pro- duit à l'ouverture d'un tuyau quelconque un mouvement vibratoire continu , chacun des points du tuyau doit être animé , à chaque ins- tant, d'une vitesse qui est la résultonle des vitesses dues aux diverses ondes, directes ou réltécbies, qui s'y propagent. — On examinera d'abord les effets produits, soit dans les tuyaux fermés, soit dans les tuyaux ouverts, par la superposition de deux de ces ondes, sa- voir : Tonde directe, <]ui est due au mouvement vibratoire existante l'une des extrémités du tuyau, et l'onde qui a subi une réflexion à l'extrémité opposée.

1° Tuyaux fermé». — Si la courbe MNPQ (fig. 297) représente, à un instant donné, la distribution des vitesses dues à l'onde directe

(319), et si l'on représente par la courbe ponctuée RST le prolon- gement de cette onde directe au delà du fond YY' du tuvau, il est visible que la courbe R'S'T', symétrique de celle-ci par rapport à YY', peut représenter l'onde réfléchie, à la condition de considérer les vitesses dues à l'onde réfléchie comme étant, en chaque point,

38 - ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

égales et contraires aux ordonnées de cette courbe. — Quant aux condensations, celles qui sont dues à Tonde directe étant propor- tionnelles aux ordonnées de la courbe MNPQ, on voit que les con- densations dues à l'onde réfléchie sont proportionnelles aux ordon- nées de la courbe R'S'T'. et de même signe.

Or, aux points A,C,E,G,..., qui correspondent aux intersections des deux courbes, la vitesse d'ébranlement résultante est nulle, puis-, qu'elle est représentée par la somme de deux vitesses égales et de signes contraires. — Au contraire, on démontrera facilement que, en ces mêmes points, la condensation, d'ailleurs positive ou néga- tive, est plus grande en valeur absolue que dans tous les autres points du tuyau au même instant. — Il est aisé de voir enfin que ces points occupent dans le tuyau une position fixe, indépendante de la posi- tion particulière que l'on a donnée à la courbe MNPQ, c'est-à-dire indépendante de l'instant considéré ; si l'on désigne par X la longueur d'une ondulation, ils sont à des distances du fond A qui sont repré- sentées par

A I ^ il O, 27' IX - > Dt'

a a q

On donne à ces points le nom de nœiid^ fixes; ils sont, comme on voit, à des distances successives du fond qui sont les multiples pairs du quart de la longueur d'onde.

Aux points B, D, F, .. ., qui correspondent aux points des deux courbes où les tangentes sont parallèles entre elles, il est au con- traire facile de voir que la condensation est nulle, comme représentée par la somme de deux ordonnées égales et de signes contraires, et que la vitesse d'ébranlement est constamment maximum par rapport à celle des autres points du tuyau au même instant. •— Ces points œcupent encore une position fixe dans le tuyau , et leurs distances au point A sont représentées par

V ^V ^4

On leur donne le nom de ventres fixes : ils sont à des distances suc- cessives du fond qui sont les multiples impairs du quart de la longueur d'onde.

RÉFLEXION DU SON. 89

On arrive aux mêmes conséquences en partant des formules propres à représenter les deux ondes. — Si v=A sin aw ^ est la vi- tesse imprimée au point A, à l'instant t, par l'onde directe, la vitesse qu'apporte cette même onde directe en un point M situé à la distance x du point A, au même instant t, est, d'après ce qu'on a vu (319),

tt= Asinair (x+ xJ' celle qu'apporte au même point l'onde réfléchie est

u = —A sm 37r ( f ~" T ) î la somme de ces deux vitesses est

M-).ei'= A sin 97r ( j + t) — sinaTr ff~5r) I

Cette somme exprime la valeur de la vilesse résultante U, en sorte qu'on a, en effectuant le calcul indiqué,

U = !iA sin 971 Vcos aiir-p*

On voit immédiatement que cette vitesse est constamment nulle

pour les valeurs de x égales aux multiples pairs de t> c'est-à-dire

aux points qu'on a appelés les nœuds Jixes; et qu'elle est au contraire maximum, en valeur absolue, pour les valeurs de x égales aux

multiples impairs de 7> c'est-à-dire auwentres Jixes.

De même la condensation produite par l'onde directe, en un point du tuyau situé à une distance x du point A, et à l'instant t, a pour valeur

^=^sina7r(| + f);

la condensation produite par Tonde réfléchie, en ce même point, est

^=^sina,(~|);

&0 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE,

la somme est

Cette somme exprime la condensation A dans le mouvement résul-< tant , en sorte qu'on a

. lk X . t

^=^ — cos 27r V sm aw ^ • a A 1

On voit qu'elle est constamment nulle pour les valeurs de x qui dé- finissent les ventres fixes, et qu'elle est maximum, en valeur absolue, pour les valeurs de x qui définissent les nœuds fixes.

9° Tuyaux ouverts, — Pour passer des résultats qui précèdent à ceux qui conviennent aux tuyaux ouverts, il suffit, pour ce qui con- cerne l'onde réfléchie, d'appliquer à la condensation tout ce qui a été dit de la vitesse, et réciproquement. — On est conduit alors à conclure qu'il se forme des nœuds fixes à des distances du fond re- présentées par

O T> 0 T' • • • '

\ f\ '\

et des ventres fixes à des distances du fond représentées par

Si

A » A ^ A

0 . 27^ 'i 7 ^ D 7 ^ • • • ;

\ '\ a

ces systèmes de points avant d'ailleurs exactement les mêmes carac- tères que dans les tuyaux fermés ^^\

(') On doit remarquer que, dans les deux espèces de tuyaux, la vitewo d*ébr«nlerooql aux ventres, qui est, à chaque instant, maxima en valeur absolue par rapporta celles dés •autres points, varie avec la valeur de f , entre les limites qA et - 9 A. Elle devientpëriodi-

quement nulle à des intervalles.de temps représentes parles multiples impairs de — ; à ces

instants, la \itesse d^ébraulemcnt est nulle à la fois dans tous les points du tuyau.

Une remarque analogue est applicable à la condensation qui se produit aux nœuds: elle est, à chaque instant, maxima en valeur absolue par rapport à celle des autres points du

tuvau , mais elle varie avec le temps ( entre les limites — et • Elle devient përio-

, . ^ " . T

diquement nulle à des intervalles de temps représentés par les multiples pairs de 7; à.cei

instants, la pression est uniforme on tous les points du tuyau, et égale à la pression extérieure. E. F.

RÉFLEXION DU SON. SI

337.. ■Mtoxton ématm itn fp»«e IndéAMl. — L'examen que l'on vient de faire de la réflexion des ^branlemenls dans les tuyaux cylindriques permet de se rendre compte des phénomènes ofîeris par la réflexion dans un espace indéfini. Les lois sont d'ailleurs identiques à celtes de la réflexion de la lumière , en sorte que l'on peut constater, par exemple, que si l'on place un corps sonore à l'un des foyers d'un ellipsoïde de révolution à parois rij^des, on obtient un foyer sonore à l'autre foyer de l'ellipsoïde; la réflexion des ondes sonores se fail alors comme celle des ondes liquides que l'on peut observer dans un bain de mercure contenu dans un vase elliptique, quand on produit un ébranlement en l'un des foyers de l'ellipse qui forme le contour du vase.

Le portMmœ et le cornet acoustique ne sont que des applications de la réflexion du son sur les parois rifjides; il est facile d'en concevoir refficacité, pour la produclion des effets particuliers que l'on se pro- pose d'obtenir.

338. EffeM produlta pur I» ■uperpsattlan des ondes ril- met*»» et des «nriM rélléchlee, «lana un eapaee IndéAnl. —

Puisque les vitesses correspondantes à un même ébranlement vont en décroissant, dans chaque direction, en raison inverse de la distance au centre d'ébranlement (320), il est clair que les interfé'rences produites dans un milieu indéfini doivent être moins complètes que dans le cas d'un tuyau cylindrique. Les nœuds et les ventres fixes, qui ne se distingueront alors que par des caractères relatifs , occuperont d'ail- leurs, sur la perpendiculaire menée du corps sonore à la paroi réfléchissante, des positions sensiblement correspondantes à celles qui ont été définies pour les tuyaux. ''' *' ' Ces conséquences de la théorie ont été véri-

fiées par A. Seebeck, en employant une membrane verticale iwt (fig. 998), tendue sur un cadre dont on a figuré la section en A et B- et en appliquant sur cette membrane un petit pendule p. La mem- brane étantiplacée aux divers points de l'espace dans lequel on se

i2 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

proposait de vérifier la distribution des nœuds et des ventres, la grandeur des impulsions communiquées au pendule donnait une idée des valeurs relatives de la vitesse d'ébranlement transmise par l'air à te membrane.

Si maintenant, un corps sonore étant placé enS(fig. 999) et une paroi réfléchissante en PQ, la membrane mn est tendue au fond d'une sorte d'entonnoir ABCD, fixé iui-méme dans un vase AMNB

à parois très-solides, el si l'appareil est tourné de façon que l'une des deux ondes, soit l'onde directe, soii l'onde réfléchie, doive le contourner pour arriver à la membrane, on voit que les vitesses apportées par cette onde sont , par cela même , changées de signe : les nœuds paraissent alors occuper 'les positions dans lesquelles l'expé- rience précédente avait constaté des ventres, et réciproquement. — Les conditions dans lesquelles se trouve la membrane «n, duu l'ap- pareil dont on vient d'indiquer l'usage, sont analogues à celles que présente la membrane du tympan dans l'oreille humaine: c'est faute d'avoir fait cette remarque que divers physiciens, et Savart ea par- ticulier, ont commis plusieurs erreurs dans l'interprétation des phé- nomènes observés.

Enfin cette expérience oflre, en outre, un moyen simple de séparer les uns des autres plusieurs sons de hauteurs différentes, dont la co- existence constitue un bruit dépourvu en apparence de tout carac- tère musical; chacun des sons élémentaires donnant naissance k un système particulier de nœuds et de ventres, on peut souvent, en plaçant l'oreille à diverses distances , sur la perpendiculaire menée

TUYAUX SONORES. 43

du corps sonore à une paroi solide oii s'opère la réflexion, entendre ces divers sons prédominer tour à tour.

On concevra sans peine la production de phénomènes analogues, mais plus complexes, par l'interférence des ondes directes et des ondé^ réfléchies, dans un espace limité de toutes parts.

329. Réfraction liu «on. — Lorsqu'un ébranlement se trans- met d'un milieu dans un autre , il se produit une réfraction dont les lois sont identiques à celles de la réfraction de la lumière, c'est-à- dire que le rapport du sinus de l'angle d'incidence au sinus de l'angle de réfraction est constant et égal au rapport de la vitesse de propagation dans lepremier milieu à la vitesse de propagation dans le second.

Les phénomènes de réfraction du son ont été constatés par Sond- hauss; en mettant^ en présence d'un corps sonoi'e une sorte de len- tille biconvexe, formée par deux membranes de collodion dont l'intervalle est rempli par de l'acide carbonique, on obtient une véri- table concentration du son et un foyer sonore. — Le même effet peut être réalisé au moyen d'une lentille biconcave remplie d'hy- drogène.

PRODUCTION DU SON 1»AR LES GAZ (tUÏAUX SONOREs).

330. Toutes les fois qu'une masse de gaz limitée, de forme quel- conque, est ébranlée d'une manière quelconque, on peut considérer chacun de ses points comme étant l'origine d'ondes qui se propagent conformément aux lois qui viennent d'être indiquées : la propaga- tion , la réflexion et la superposition de ces ondes donnent donc lieu à un état de mouvement, variable avec le temps, qui peut être entièrement déterminé à l'aide des notions qui précèdent. — On considérera, en particulier, le cas où le gaz est renfermé dans un tuyau cylindrique de petit diamètre, ouvert à une extrémité, ou- vert ou fermé à l'autre.

331. Tuyaux sonores. — On peut employer deux procédés difiérents pour faire vibrer ou parler un tuyau :

ai ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

1° Une impulsion ou aspiration unique, ou une succession d'as- pirations ou d'impulsions'";

g" Une action continue, produisant à l'une des extrémités ou* vertes des vibrations de période déterminée; telle est, par exemple, dans les tuyaux à embouchure (/ej!tUe((ig. 3oo), l'arrivée conlinife de

l'air qui sort par la lumière a et vient se briser contre la lèvre supé- rieure b; telle est aussi, dans le sifflet des locomotives (fig. 3oi), l'arrivée de la vapeur qui sort par la fente circulaire aa et vient se briser contre le bord tranchant bb du timbre T.

Quelle que soit celle de ces deux méthodes qu'on emploie pour f3ire parler un tuyau , l'expérience montre qu'il rend les mêmes sons. ' — Il est facile de se rendre compte de celte concordance. Si l'on place à l'extrémilé ouverte d'un luyau une embouchure qui vibre d'accord Hvec le son que rendrait ce luyau sous l'iniluence d'un ébranlement unique, l'effet du mouvement produit à l'embouchure pendant la durée T d'une première vibration est de produire, au bout du temps T, un état d'ébranlement déterminé dans l'air inté- rieur, et, par suite de la forme et des dimensions du tuyau, cet ébranlement lend à se reproduire de lui-m^me à l'époque sT; mais

'" Oii pameiitù obtenir uns succession rcf[ulivre d'aspirations ou d'impulsions, ji l'aidv de miii'iiiiisnieB msgnélD-éleclri<|ues.

TUYAUX SONORES. 45

la succession des mouvements qui se sont produits à l'embouchure, entre l'époque T et l'époque aT, a pour effet de reproduire une se- conde série d'ébranlements qui est identique à la première, et qui, en s'ajoutant à elle, double la valeur de la vitesse et de la condensation en chaque point du tuyau, et ainsi de suite. La concordance ré- pétée de ces diverses actions a donc pour conséquence un renfor- cement des vibrations qui va en croissant avec le temps, et qui n'aurait pas de limite s'il n'y avait pas sans cesse diffusion du mou- vement dans le milieu exférieur. Si la période de l'embouchure et celle du tuyau ne coïncident pas, il n'y a plus concordance des im- pulsions successives, et le renforcement est moindre; mais, le son d'intensité maximum étant celui qu'on s'attache à produire dans toutes les expériences, on voit qu'il est indifférent d'employer l'un ou l'autre des deux procédés. — 11 suffit également, à la rigueur, de donner Ja théorie correspondante h un seul des deux modes de vibration.

•

332. liOi» empérintentales relatlie* aux tuyaux sonores.

— Lorsqu'on opère sur des tuyaux dont la longueur est suffisam- ment grande par rapport aux dimensions de la section . et dont les parois ont une épaisseur suffisante, on constate que la forme ou les dimensions de la section transversale sont sans influence sur la hau- teur des sons produits; il en est de même de la nature ou de l'é- paisseur des parois. — La longueur du tuyau et la nature du gaz qu'il contient sont donc les seuls éléments dont on ait à déterminer l'influence.

Une étude expérimentale, faite successivement sur des tuyaux ouverts et sur des tuyaux fermés, conduit aux lois suivantes :

*

Tuyaux ouverts. — i" Pour des tuyaux de diverses longueurs, les nombres de vibrations qui correspondent au son fondamental, c'est-à-dire au son le plus grave que le tuyau puisse rendre, sont en raison inverse des longueurs.

a* Pour un même tuyau ouvert, les nombres de vibrations qui correspondent aux divers «ow« harmoniques, c'est-à-dire aux sons de hauteurs croissantes que l'on peut faire rendre successivement au

46 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

tuvau, en faisant varier la vitesse d'arrivée de l'air, sont entre eux comme les nombres entiers de la suite naturelle i, q, 3, &,....

Dans les expériences qui servent à établir ces lois, on peut d ail- leurs déterminer les positions des nœuds fixes en opérant avec des tuyaux prismatiques dont Tune des parois est formée par une lame de verre, et faisant descendre dans ce tuyau, à l'aide d'un (il de soie, une petite membrane tendue sur un anneau rigide et cou- verte de sable fin; on voit le sable s'agiter en tous les points du tuyau, sauf en certains points où la vitesse de vibration est cons- tamment nulle : ce sont les nœuds fixes, — On constate alors que^ si le tuyau rend le son fondamental, il y a un nœud au milieu, et. en ce point seulement. Si le tuyau rond l'un quelconque des harmo- niques, les nœuds sont équidistnnts entre eux, et la distance, du premier ou du dernier nœud à l'extrémité du tuyau qui est la plus voisine de lui est égale à la moitié de la distance de deux nœudé consécutifs.

Pour constater la position des ventres fixes, et vérifier qu'ils sont toujours situés à égale distance de deux nœuds consécutifs, on peut employer, ou bien la membrane couverte de sable, en cherchant les points où le sable présente l'agitation la plus vive, ou bien des tuyaux présentant des ouvertures latérales que l'on pourra débou- cher à volonté. Dans cette dernière manière d'opérer, les ventres se distinguent alors par ce caractère que la condensation y est nulle, et qu'ils peuvent être mis en communication avec l'atmosphère sans que le son soit modifié.

Tuyaux fermés, — i ** Le son fondamental d'un tuyau fermé est l'octave grave du son fondamental d'un tuyau ouvert de même loa- gueur.

2** Pour des tuyaux fermés de diverses longueurs, les nombres de vibrations qui correspondent au son fondamental sont en raiison inverse des longueurs. — Cette loi est une conséquence de la pré- cédente et de la première loi relative aux tuyaux ouverts.

3* Pour un même tuyau fermé, les nombres de vibrations qui correspondent aux divers sons harmoniques sont entre eux comme la série des nombres impairs t, 3. 5, 7, ... .

TUYAUX SONORES, 47

L'expérience montre que, dans le cas où un tuyau fermé rend le son fondamental, il y a un nœud fixe à l'extrémité fermée et un ventre fixe à l'extrémité ouverte. Quand il rend un harmonique quelconque, les nœuds et les ventres alternent entre eux : ils sont situés à égales distances les uns des autres, dans toute la longueur du tuyau, de façon que l'ouverture du tuyau corresponde à un ventre et le fond du tuyau à un nœud.

.333. Théorie ûem tuyaux «onore*. — Lorsqu'un mouve- ment vibratoire se produit à l'ouverture d'un tuyau, l'onde partie de cet'e extrémité A (fig. Soa) se réfléchit une première fois à l'extr^^-

Fig. 3o9.

mité B, soit^sur la paroi rigide si le tuyau est fermé, soit sur l'air extérieur si le tuyau est ouvert (325). L'interférence du mouvement direct avec le mouvement produit par cette réflexion tend alors à produire le système de nœuds fixes et de ventres fixes qui a été étu- dié précédemment (326). Mais l'onde qui a subi cette réflexion en B vient se réfléchir de nouveau en A; elle peut donc être consi- dérée alors comme une nouvelle onde directe, engendrant à son tour une nouvelle onde réfléchie. Or, si l'état de l'onde qui a subi ces deux réflexions successives, en B et en A, est identique avec celui de l'onde directe primitive, elle produit, par son interférence avec l'onde réfléchie qu'elle engendre, c'est-à-dire avec l'onde qui a subi trois. réflexions successives, en B, en A et en B, un mouvement identique avec celui qui résultait de l'interférence de l'onde directe avec l'onde une seule fois réfléchie. On en pourra dire autant de l'interférence de l'onde réfléchie quatre fois avec l'onde réfléchie cinq fois, et ainsi de suite. Tous ces mouvements étant concordants, leurs vitesses et leurs condensations s'ajouteront, et, si les ondes réfléchies étaient réellement égales ^" intensité aux ondes directes, l'accroissement du son n'aurait pas de limite. Mais la transmission

48 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

partielle des vibrations à Tatmosphère extérieure implique un affai- blissement sensible, à chaque réflexion. La superposition d'un nombre indéfini de mouvements concordants, mais d'amplitudes indéfiniment décroissantes, donne ainsi naissance à un son dont l'intensité ne peut croître au delà d'une certaine limite; on doit regarder cette limite comme sensiblement atteinte au bout d'un temps très-court, si la longueur du tuyau est peu considérable rela- tivement à la vitesse de propagation du son. — Il est clair d'ailleurs que, si les effets des ondes qui ont éprouvé un nombre pair de ré- flexions ne concordent pas avec ceux de l'onde directe , l'intensité du son doit être moindre.

Cette condition de concordance détermine donc la série de sons qui est caractéristique d'un tuyau donné, soit dans le cas des tuyaux ouverts, soit dans le cas des tuyaux fermés ^^^. — On va voir que cette série s'en déduit très-simplement, dans chacun de ces deux cas.

Tuyaux ouverts. — Les deux réflexions successives en B et en A ne changeant pas le signe de la vitesse, et les deux changements de signe de la condensation se compensant l'un l'autre , l'état de l'onde qui a subi deux réflexions est, au point A, le même que celui d'une onde qui aurait parcouru , sans se réfléchir, un chemin égal au double de la longueur du tuyau. Il sera donc identique à celui de l'onde directe, si le double de la longueur / du tuyau est égal à un nombre entier de fois la longueur d'ondulation X du son produit à l'embouchure, c'est-à-dire si l'on a

Or, si a est la vitesse de propagation du son dans le gaz qui rem- plit le tuyau, et si T est la durée d'une vibration complète, on a

X = ^T,

d'où l'on tire, en remplaçant X par cette valeur,

T=I^'. n a

^'^ Voir, à la 6n de TAcoustique, la noil complémentaire A sur les effets des réflexions multiples du son dans un tuyau.

TUYAUX SONORES. /i9

Ëntin . si l'on désigne par N le nombre des vibrations effectuées en une seconde, nombre dont la valeur n'est autre chose que j*

on pourra mettre cette* formule sous la forme qui a été donnée par Daniel Bernoulli,

Cette formule comprend, comme on le voit immédiatement, les deux lois expérimentales indiquées plus haut (332) , c'est-à-dire : i° la relation entre la longueur d'un tuyau ouvert et le nombre de vibra- tions du son fondamental ( ce nombre étant donné par la valeur de N qui correspond à w = i); a" la loi qui régit la série des harmoniques.

En outre, pour chaque valeur de n, c'est-à-dire pour chaque harmonique en particulier, les ondes qui ont subi un nombre pair de réflexions étant toutes concordantes, le mouvement de l'air en un point quelconque du tuyau est proportionnel à celui qui résulterait de l'interférence de l'onde directe avec l'onde qui a subi une seule réflexion. On conclnt de là que, conformément à l'expérience, les deux extrémités du tuyau sont des ventres, et que, si l'on divise la longueur totale en quarts de longueur d'ondulation, les points de division sont alternativement des nœuds et des ventres.

Tuyaux fermés, — Si le tuyau est fermé en B, la réflexion en B change le signe de la vitesse; la réflexion en A change le signe de la condensation. Au point A, l'état de l'onde réfléchie successivement en B et en A est donc exactement contraire à l'état d'une onde qui aurait parcouru deux fois la longueur du tuyau sans se réfléchir : par suite, il est identique à celui d'une onde qui aurait parcouru, sans se réfléchir, le double de la longueur du tuyau augmenté d'une demi-longueur d'ondulation. La condition de concordance est donc

d'oii l'on conclut, en raisonnant comme plus haut, la formule de Daniel Bernoulli ,

Verdet, m. — (lotira (le pliys. 11. k

50 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

Cette formule comprend , comme celle des tuyaiix fermés : i** la loi des longueurs; 9° la loi relative à la série des harmoniques.

En compa.rant les deux formules entre elles, on voit, en outre, que le son fondamental d'un tuyau fermé doit être l'octave grave du son fondamental d'un tuyau ouvert de même longueur.

Enfin on peut se rendre compte, absolument comme il a été dit pour les tuyaux ouverts, de la distribution des nœuds fixes et des ventres fixes.

334. Vitesse du son dans les ffaz» déduite des formules relatives aux tuyaux sonores. — Les formules (|ui précèdent permettent de calculer la valeur numérique de la vitesse du son a, quand on a déterminé par l'expérience toutes les autres quantités que ces formules contiennent.

Or, si l'on fait ce calcul pour l'air, en employant les données fournies par un tuyau rendant le son fondamental, on trouve que le résultat est en général inférieur, de près d'un sixième, à la vitesse déterminée directement (322). — La raison de cette diffé- rence est dans l'évidente inexactitude des hypothèses relatives à l'état de l'air aux extrémités du tuyau. 11 est possible, en augmen- tant suffisamment l'épaisseur de la paroi qui bouche l'extrémité d'un tuyau fermé, d'obtenir l'immobilité presque complète de la tranche d'air qui est en contact avec elle; mais, au voisinage d'une extrémité ouverte et surtout au voisinage d'une embouchure, il n'est pas possible que le mouvement de l'air soit exactement pa- rallèle à l'axe, et il y a nécessairement une transition entte l'état de l'air extérieur et celui de l'air intérieur.

Deux méthodes ont été employées pour éliminer l'influence de cette perturbation. — La première, employée par M. Zamminer consiste à mesurer, à l'aide d'un piston mobile, la distance de deux nœuds successifs, pour un harmonique déterminé, et à en déduire la valeur de la longueur d'ondulation. — La seconde, employée par Wertheim, consiste à déterminer directement l'influence de la perturbation elle-même, en opérant comme il suif.

Sur une embouchure donnée, on fixe successivement plusieurs tuyaux ouverts, de même diamètre, mais de longueurs différentes :

TUYAUX ISONORES. 51

si les perturbations produites à Tembouchure et h l'extrémité ou- verte des divers tuyaux sont indépendantes de leur longueur, on pourra, au lieu d'admettre pour chacun d'eux, dans le cas du son fondamental, la formule générale

poser		/+«+/s -v^;,.
^		/' + « + /3 ^-,V
	•	1" i 1/2 ^" ^
d'oii l'on	conclura	•••••••• 1

N(/-h« + )8) = N'(/'+« + ^) = N"(r+a + j8)=...,

et chacune de ces équations devra donner la même valeur pour a + 13, L'expérience confirme cette hypothèse. — Des expériences janalogues, exécutées sur des tuyaux fermés, à fond très-résistant, font connaître la perturbation a due à l'embouchure seule. — On trouve d'ailleurs que a et /S sont toujours des quantités positives,

égales à des fractions assez petites de j^ mais d'autant plus grandes

que le diamètre du tuyau est plus grand.

Les détails qui précèdent suffisent pour faire concevoir la possi- bilité d'obtenir une mesure exacte de la vitesse du son au moyen des résultats de ces expériences : il convient de réduire autant que possible la valeur des corrections, en opérant sur des tuyaux de petit diamètre. — Le calcul des anciennes expériences de Dulong fournit les valeurs suivantes pour les vitesses du son dans divers gaz :

Vitesse du son dans

'air 33îi"

oxygène 817

'hydrogène . . 1 969

'oxyd^de carbone 887

'acide carbonique 9.6 st

e protoxyde d'azote. ....... 269.

e gaz oléfiant 3 1 /i

h

52 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

335. Conséquences retotivee «u rapport des liciix leurs spécifiques des sas, et oum quantités lie ehaleur qui eorresponiient à île petites wariations lie volume* — Les

vitesses du son dans les gaz simples étant, à deux ou trois mètres près, en raison inverse des racines carrées des densités, on a conclu de ces expériences que, dans tous les gaz simples ^ le rapport des ifeti^ chaleurs spécifiques a sensiblement la mime valeur, et que cette valeur est d'environ i,4i. — H convient, sans doute, de restreindre cet énoncé aux gaz qui sont très-éloignés de leur point de liquéfaction. — Pour les gaz composés, le rapport des deux chaleurs spéci- fiques a des valeurs différentes.

Si maintenant on calcule, pour un gaz quelconque, au moyen de la valeur de la vitesse du son fournie par les expériences que Ton vient d'indiquer, la valeur de la chaleur spécifique à volume cons- tant c, on trouve toujours un résultat qui satisfait approximativement h la relation

qui est une conséquence nécessaire de la théorie mécanique de la chaleur, pour les gaz où le travail intérieur est nuH' .

Si maintenant on désigne par D^ la densité du gaz, on peut mettre la formule précédente sous la forme

Or CUo représente la quantité de chaleur absorbée par l'unité de volume du gaz , lorsque sa température s'élève d'un degré sous pression constante, et rD^est la quantité de chaleur absorbée lorsque la température s'élève d'un degré sous volume constant; donc (C — c) Do est la quantité de chaleur absorbée par l'unité de volume du gaz lorsqu'elle se dilate, sans variation de température, d'une quantité égale à la dilatation correspondante à un échauRement d'un degré. La formule exprime donc un théorème que l'on peut énoncer ainsi :

•'j Voir le cours de première ann«H*, loin»^ 1", p. saH.

TUYAUX SONORES. 53

De petites dilatations absorbent des quantités égales de chaleur dans tous les gaz permanents, pris sous la même pression.

Cet énoncé est d'ailleurs évidemment applicable aux quantités do chaleur dégagées par de petites compressions.

Dulong avait déduit de ses expériences cette conséquence impor- tante, longtemps avant qu'on eût commencé à soupçonner le prin- cipe de l'équivalence du travail mécanique et de la chaleur.

336. lioi relatiire aux sons rendus par les tujaux dont les diverses dimensions sont des grandeurs de même ordre.

— Les diverses lois qui ont été énoncées précédemment (332) ne sont applicables qu'aux tuyaux dont la longueur peut être regardée comme très-grande par rapport aux dimensions de la section. On doit à Savart plusieurs séries d'expériences sur l'influence de la forme ou des dimensions des tuyaux qui ne satisfont pas à cette condition. — Le résultat le plus important auquel aient conduit ces recherches est le suivant :

Pour des tuyaux de formes semblables et semblablement embouchés, les nombres de vibrations du son fondamental sont inversement propor- tionnels aux dimensions homologues.

Cette loi, qui a été établie expérimentalement par Savart en opérant sur des tuyaux de forme cubique, de forme cylindrique ou de forme sphérique , avait d'ailleurs été entrevue par le P. Mer- senne : elle s'applique également bien aux tuyaux ouverts et «ux tuyaux fermés.

337. Tujaux m anélies. — On désigne sous le nom général d^anche une lame élastique mise en vibration par le passage rapide d'un gaz, et placée d'ordinaire entre un tuyau porte-^ent T (fig. 3o3 ou 3 0 & ) et une sorte de cornet C s'ouvrant dans l'air extérieur, et appelé cornet d'harmonie.

Vanche battante est représentée à la partie supérieure de la Bgure 3o3; quand l'air n'arrive pas par le porte-vent, elle vient s'appliquer sur les bords d'une rigole demi-circulaire, fermée par une plaque horizontale à sa partie inférieure. L'air comprimé dans le porte-vent par la soufflerie ne peut s'échapper qu'en soulevant la

5i ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

lame élastique, qui est ensuite ramenée à sa positioB-prîiDiiive>par

son élasticité même, et ainsi de suite. De U une série de vibrationMi dont on règle la hauteur en augmentant ou diminuant la longueur de la languette : eH emploie, pour cela, une ratette formée par un fil de Ter courbé qui fait ressort et déter- mine la longueur de la partie vibrante de la iame. — Dans Vanche libre (fig. 3o/i), la lame vibrante passe librement dans une ouverture par laquelle s'échappe l'air : elle oscille de part et d'autre du plan de cette ouverture, et donne des sons généralement moins stri" dents que l'anche battante.

Le son des tuyaux à anche résulte dortc^ comme celui de la sirène, des passages, et des arrêts alternatifs éprouvés par l'air qui tend à s'échapper du porte-vent. L'air -du cornet d'harmonie est également mis en vi- bration. Les dimensions du cornet ont pour effet de modifier la hauteur du son dans cer- taines limites, et surtout d'en adoucir aïngu-

• -T. ■ . lièrement le timbre.

L'organe de la voi\, chez l'homme, se rapproche probablement

iieaucoup d'un instrument à ancbc libre.

OOMPRKSSIBILITK DKS M (.K IDES.

338. InflaeMse de* varlatlsB» de velwaie des vaaee» djuia l'«t«4e 4e I» «empreMlMItté dM liquide».. — L'ëtude de la comprcssîbilité des liquides présente toujours de grandes difliiultës, à cause de la nécessité où l'oa est de les placer dans des enveloppes solides, (|ul sont toujours modifiées par les pressions auxquelles on les Boumel. — Les variations de volume de l'enveloppe interviennent d'ailleurs do deux manières différentes, selon que la pression s'exerce seulement à l'intérieur ou qu'elle ajpt simultanément à l'intérieur et à l'extérieur.

1° Si la pression s'exerce seulement à l'intérieur, l'enveloppe éprouve un accroissement de volume: alors la diminution apparente de volume du liquide est égale à la somme de la diminution de

■ volume réelle du liquide el de l'accroissement de volume de la capacité interne de l'enveloppe. Gel accroissement est assez considérable dans les pié- lomètres en verre peu épfiis dont on se sert gé- néralement, et qui se composent d'un réservoir R (fig. 3o5) surmonté d'un tube lin T dont la gra- duation indique les volumes apparents du liquide. — L'influence de l'accroissement de volume du vase deviendrait moindre si l'on donnait aux pa- rois une épaisseur plus grande, mais elle ne de- viendrait jamais assez petite pour être négligeable, ^■t- *»5. a' Si la pression agit à l'intérieur et à l'exté-

rieur, le volume de la matiire dupiézomi&e, sous l'influence d^e pres- sion exercée sur la surface tant intérieure qu'extérieure, diminue évi- demment d'une fraction qui peut être regardée , entre des limites plus ou moins étendues, comme proporiionnelle à la pression. — Il est facile de voir que , si cette matière est bien homogène , la capacité inlé- rieun dans laquelle le liquide est contenu diminue précisément de

56 ELASTICITE ET ACOUSTIQUE.

la même fraction de sa valeur initiale; car, toutes les droites que Ton peut concevoir à l'inlérieur de la matière de l'enveloppe jouissant alors des mêmes propriétés physiques, leur longueur diminue dans le même rapport, en sorte que l'enveloppe demeure géométriquement semblable à elle-même, ce qui implique que la capacité intérieure diminue comme on vient de l'indiquer. — Dès lors, si l'on mesu- rait exactement la diminution d'une dimension linéaire de l'appareil, comme cette diminution est toujours une fraction très-petite, il suf- firait de la tripler pour obtenir une valeur suffisamment exacte de la contraction de la capacité intérieure, et. en ajoutant le nombre ainsi obtenu à ta compression apparente, on aurait la compression réelle. Mais ce procédé direct serait d'une application très-difficile et n'a jamais été employé.

Les méthodes indirectes par lesquelles on y a suppléé ont tou- jours été insuffisantes, soit parce qu'elles impliquaient des formules théoriques inexactes ou au moins douteuses, soit parce qu'on appli- quait à une enveloppe donnée des coefficients déterminés sur des tiges de verre dont la constitution physique différait de celle de l'enveloppe, soit enfin par ces deux motifs à la fois. — On peut dire que la compressibilité absolue d'aucun liquide n'est connue exactement; on verra plus loin qu'il est seulement permis d'assigner deux limites, entre lesquelles est comprise la compressibilité de chacun des liquides qu'on a étudiés par la méthode de M. Regnault.

339. Expériences propres m e«iist»ier la eompreMrtMlité

des liquides, sans la mesurer. — On connaît l'expérience faite anciennement par les académiciens de Florence : deux boules .\, B (fig. 3o6), réunies par un tube recourbé T et remplies d'eau, comme l'indique la figure, étaient plongées, l'une A dans l'eau bouillante, l'autre B dans de la neige; la vapeur d'eau produite du côté A ve- nait exercer sa pression sur le liquide contenu du côté B. Le niveau h du liquide ne parut pas changer, d'où l'on conclut qu'il n'y avait pas diminution du volume de Teau: mais on doit remarquer qu'il y avait nécessairement condensation de la vapeur d'eau à la surface b, en sorte que l'invariabilité même du niveau du liquide ét.iil réelle- ment la preuve de la compressibilité de l'eau.

r.OMPRESSlBlLlTÉ DES LIQUIDES. S7

Une autre expérience, imaginée par Canton, peut être facilement répétée comme ii suit : on construit un thermomètre à eau , avec les pi^cautions nécessaires pour en expulser entièrement l'air; on le place sous le récipient de la machine pneumatifjue, et l'on observe le niveau du liquide. Lorsqu'on laisse rentrer l'air sous le récipient de la machine et qu'on brise en même temps la pointe du thermo- mètre, on voit le niveau du liquide descendre d'une petite quantité: comme d'ailleurs la pression atmosphérique agil à la fois à l'inté- rieur p| à rp,\térieur, la capacité interne de l'enveloppe a néuessai-

w'

rement diminué, en sorte que l'abaissement du niveau démontre que le volume du liquide a diminué dans un plus grand rapport que cette capacité interné.

Enfin on doit k Perkins l'expérience suivante : un vase niétat- tique de bronze PP' (fig. Soy), offrant une résistance considérable et exactement plein d'eau, contenait une tige mince de métal, passant à frottement dur dans la boîte à cuir CC; la boîte à cuir était d'ail- leurs pressée elle-même par un boulon à vis EE'. L'appareil étant placé dans l'air, on avait assujetti h frottement doux, sur la tige AB, une petite rondelle de cuir D. qu'on avait fait glisser jusqu'à ce qu'elle vînl toucher le boulon fixe EE'. L'appareil fui alors drhcendu

5fi ÉLASTIcriÉ ET ACOUSTIQUE.

ilaDs U mer, jusqu'à une profondeur d'environ ^oo mètres, c'est-à- dire soumis à une pression d'environ loo atmosphères. Au moment où on le ramena à la surface, on constata que la rondelle s'ëlait relevée sur la tige, à o*,30 environ de sa position primitive : la ti^ s'était donc enfoncée dans le vase d'une quantité parfaitement appréciable. — Malheureusement on n'a pas tenu compte, dans cette eip>riencu, des v.iria(ions de température éprouvées par le liquide.

'iliG. ExpérIencMi dniui leimuelles •■ m (enté de Èmtmtârmr la «•■ipreaBiMUté de* UqMM««. — Dans la méthode employée par OErsted , le liquide soumis à l'oxpérience est placé dans un pii- :(irop/rf formé d'un résenoir de verre R, surmonté d'une tige gra- duée T (lig. .lo^). Ce liquide est limité à sa parUe sirpërieure par

nue petite coloime de mercure m, ou uiieuic par une bulle d'air surmontée d'un index de sulfure de carbone. Sur la plaque métal- lique qui porte le piézomèlre, et à raté de lui, est un tube gradué l'onlenant une colonne d'air limitée, qui fonctionne comme un ma- noitintre à air comprimé. La plaque qui porte ces deux appareils est introduite dans un grand cylindre de »erro plein d'eau, représenté par lu figure 3oy à une échelle |>liis petite : on comprime le liijuide iruiitenu dans le cylindre, au moyen du piston et du la vis <pii sur-

COMPHESSIBILITÉ DES LIQUIDES. 69

montent l'appareil. L'observation du piézomètre donne la variation de voimne apparente du liquide qu'il contient: l'observalion du mano- inèlre donne la pression correspondante. — GËrsted supposait à tort t\ae, la pression s*e\erçant itimultanément à l'extérieur et k Tintée rieur du piézomètre, sa capacité intérieure demeurait invaiiable..

341. Expériences de Ili. BcgMRuK. — La méthode em- ployée par M. Regnault a pour but spécial de déterminer, sur l'en-r veloppe même qui sert auï expériences, les coeUicients de compres- sîbilité relalirs au verre, coeilicients qui doivent intervenir dans U «calcul des résultats.

Le réservoir du piézomèlre C (fig. 3io) peut communiquer par iç 4nbe 8 avec l'atmosphère, ou par le tube T avec un récipient coate^ naiit de l'air comprimé; la pression de cet air est d'ailleurs mesurée par un manomètre. — L'inspection seule de b ligure permet de comprendre comment le jeu des robinets R. V, S, U permet de transmettre à volonté la pression de l'air du ré- cipient, soit à l'intérieur du pié- zomètre , soit à l'extérieur, soit simultanément à l'intérieur et à l'extérieur.

Soient V le nombre de divisions de la tige du piézomètre auquel est équivalente la capacité intérieure du réservoir, jusqu'à l'origine 'de

agrai

iduiilioi

„ le nombre de di-

visions occupées par le liquide dans la tige, lorsque la pression atmos- Fig j„ phérique agit à l'intérieur et à l'ex-

térieur; ti|, %, «3 les nombres de divisions occupées successivement par le liquide, d'abord lorsque les pressions intérieure et extérieure augmentent de P atmosphères, puis lorsque la pression extérieure seule éprouve cet accroissement, enfin

60 ÉLASTICITÉ ET ACOLSTIQUE.

lorsque la pression intérieure seule l'éprouve à son tour. Désignons par S ie coefficient de compressibilité du liquide, cest-à-dire la frac- tion dont son volume diminue lorsque la pression augmente d'une atmosphère; par k le coefficient de compressibilité cubique de l'en- veloppe, c'est-à-dire la fraction dont le volume de la matière de cette enveloppe et sa capacité interne diminuent lorsque la pression éprouve, tant à l'intérieur qu'à l'extérieur, un accroissement d'une atmosphère; par li la fraction dont la capacité interne diminue lorsque la pression extérieure, seule s'accroit d'une atmosphère, et par / la fraction dont la capacité interne augmente lorsque la pression inté- rieure seule s'accroît d'une atmosphère. (Les coefficients A et /dé- pendent de l'épaisseur de l'enveloppe et de sa forme.) — En égalant, pour chacune des trois expériences, le volume du liquide à celui de la capacité de l'enveloppe, on a les trois équations

(v + «„)(i--<yp) = (v+«,)(i-fcP),

V + «.= (V4-n5)(i-AP), (V + n„)(i ^^P)=(V + «5)(,+/P).

D'ailleurs, on peut regarder comme évident que le coefficient k est ^al à li — l, en sorte que la troisième expérience n'est, au fond, qu*une vérification des deux premières, destinée à s'assurer si les pressions exercées sur le verre n'en ont pas altéré la constitution physique ^'\

^'' Si 1*011 augmente d*abord la pression extérieure de P atmosphères, la cipicité interne de Tenveloppe diminue de la firaction AP; si Ton augmente alors k pression inlé- ricurc de P atmosphères, il en résulte une dilatation qu*on peut représenter par XP, et romme Peflct dëfinilif de ces deux accroissements de pression est la contraction irP, i «st clair que

fe = /i -X.

Mais on peut prouver (|ue X ne diffère pas de /. En effet, /P exprime Teffel produit par un accroissement P de la pression intérieure , lorsque la pression extérieure est d*une atmosphère; XP exprime Teiïet produit par ce même accroissement, lorsque la pressioa extérieure est de (P + i ) atmosphères. — Or, admettre que les compressions et dilatations 9ont proportionnelles aux accroissements de pression, c'est admettre implicitement que, entre les limites où cette proportionnalité a lieu , Teffcl d'un accroissement de pression est indépendant de la pression actuellement exeixée. Il résulte de là que

1*1 iNir Huit*'

k - /. /.

*

COMPRESSIBILITÉ DES LIQUIDES. 61

Il suffit donc d'avoir égard aux deux premières équations. — Or ces deux équations peuvent se mettre sous la forme

V H- Wo V -4- «„

V -h n„ V -h n.

OU par approximation, en ayant égard à la petitesse des variations de volume correspondantes aux diverses expériences,

Il suit de Ik que Ton a

V -h «..

. 1 /^o~/*,.

et, comme A* est plus petit que /i, on voit que Ton a, au contraire. ou bien

On obtient donc ainsi deux limites, entre lesquelles est nécessai- rement comprise la quantité cherchée S, Pour déterminer la valeur précise de cette quantité, il faudrait qu'une théorie justifiée par l'expérience établit une relation entre A- et A, et c'est ce qui n'a encore été fait avec certitude pour aucun corps. — La quantité

5 ^ ■* est ce qu'on appelle la compressihilité apparente.

M. Regnault a étudié la compressihilité de l'eau dans des piézo- mètres en cuivre rouge, en laiton et en verre; il a obtenu, pour les compressibilités apparentes, les nombres suivants :

Piëzooièlre en cuivre rouge o,ooou&()39

en laiton o,oooo468o

PO verre o,oooo443o

62 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

La compresaihilité réelle étant plus grande que la compressibilitV^ apparente, on peut conclure de là, avec certitude, qu'elle est supé- rieure au plus grand de ces trois nombres, c'est-à-dire à

o,oooo4685.

— On pourrait, en ajoutant les valeurs de h aux valeurs précédentes de la compressibilité apparente, obtenir des nombres auxquels la compressibîlîté réelle serait certainement inférieure; mais la faible épaisseur des parois , dans les piézomètres employés parIVI. Reghauu, a rendu h tellement grand, que cette détermination de la limite su- périeure de la compressibilité serait sans intérêt. — On indiquera, plus loin comment il est possible de calculer une limite supérieure plus approchée.

M. Regnault a trouvé, de la même manière, pour la compressi- bilité apparente du mercure dans une enveloppe de verre, le nombre

0,000001 o3^'\

(') Les valeurs des compressibiliiés absolues qui s* trouvent rapportées dans divers traités de physique, comme résultant des expériences de M. Regnault on de ses élèves, ont été calculées en admettant, entre les coefficients ^* et h, des relations déduites d^anc théorie qu'on sait aujourd'hui être inexacte. (Voir, à la fin dp TAcoustique, la ^9l^ complémentaire B, sur la compressibilité des liquides.)

PROPAGATION KT PRODICTIOX

DU MOUVEMENT VIBRATOIRE DANS LES LIQUIDES.

3&2. Vatomp ilié^gl^iwe de la \Hemm^ de propagation du daMi loa IHiuideo. — En partant, romme prëcëdemment (321), de ce principe que ia vitesse du son a est égale à la racine carrée du rapport de raccroissement absolu de la pression à J ac- croissement absolu de la densité, on est conduit à la formule

-v^

dans laquelle g désigne l'intensité de la pesanteur, m est la densité du mercure, D la densité du liquide, H est une hauteur baronn!- trique arbitraire, et e désigne la diminution de volume qui correspond à l'accroissement de pression mesuré par cette hauteur.

Les effets calorifiques de la compression d'un liquide étant d'ail- leurs à peine sensibles, il n'y a pas lieu de tenir compte de la cha- leur dégagée ou absorbée dans les mouvements vibratoires.

343. HéternUBatioB expérimentale de la viteooe ito pro- pagatioa du son dans Teau. — Expérieneeo de M. Colla-

doM« — M. Colladon a mesuré, en 1897^ par des expériences faites avec Sturm, sur le lac de Genève, ia vitesse de propagation du son dans l'eau. La figure 3i 1 représente la disposition adoptée dans ces expériences : une cloche (i, plongeant dans l'eau du lac^ était ébranlée par le choc d'un battant B. qui était mis en mouvement par un lerier extérieur L; le levier était d'ailleurs «disposé de façon que, k l'instant où se produisait le choc du battant sur la cloche. une mèche M fixée au levier vtnt enflammer un petit tas de poudre P, placé à l'avant du bateau qui portait le système. A une grande distance, une sorte de cornet acoustique OM» dont le pavil- lon M était fermé par une membrane tendue, permettait à un obser-

6& ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

valeur, dont l'oreitlc! était placée en 0, H'enlenHpp le son i\o la

cloche transmis par le liquide.

D'après ces expériences, la vitesse de transmission du son danb l'eau serait représentée par 1 435 mètres , à la température de

8 degrés. — La compressibilité de l'eau n'étant pas exactement connue, on ne peut comparer cette valeur à la valeur théorique que l'on vient d'indiquer (3â2).

3& à . Prml«ictl*n dn «•■! pnr les liquides. — ExpérlcBecs de Cmcnterd d« liwtBwr «• ezpérteneca de Werthelai. —

Cagniard de Latour a montré qu'on peut faire rendre des sons i une sirène complètement plongée dans l'eau , en amenant dans la caisse de l'instrument un courant d'eau plus ou moins rapide : cette expérience prouve que les liquides sont aptes, comme les gat;, à produire et à propager les sons.

Les expériences de Wertheim sur les vibrations produites par des tuyaUK sonores entièrement plongés dans l'eau ont permu de calculer la vitesse du son dans ce liquide, par une méthode analogue h celle r|ui a été indiquée pour les gaz. — Un tuyau ouvert T (fig. Sia), à embouchure de flûte, est placé au milieu d'un l'éservoir métallique MN qui contient de l'eau. Ce tuyau est mis en communication ù sa partie inférieure, par l'intermédiaire du tube FC,

MOUVEMENT VIBRATOIRE DANS LES LIQUIDES. 65

avec une sphère mélallique contenant également de i'eau , et com- muniquant par le robinet r avec un réservoir à air comprimé. Enfin la série de tubes BDR, dans laquelle est interposée la pompe fou-

Fig. 3ts.

lante P, met en communication la même sphère A avec l'eau du réservoir MN. Cette pompe permet donc de déterminer un courant d'eau continu, qui est chassé de la boule A dans le tuyau sonore par le lube CF, passe dans le réservoir MN, et revient à la boule par le tube EDB.

Ces expériences conduisent à des lois semblables à celles qu'avaient fournies les expériences analogues, faites sur les colonnes gazeuzes : elles conduisent également à admettre des perturbations analogues à celles qui ont été signalées plus haut (334), aux deux extrémités du luyau sonore ^'l Ces perturbations ont été déterminées directe- ment, parVVertheim, îi l'aide de la méthode dont on a indiqué le prin- cipe, et il a pu alors calculer la valeur de la vitesse du son, déduite des nombres de vibrations fournis par les expériences. — La valeur (|ui résulte de ce calcul est supérieure de plus d'un sixième à celles que fournissent les expériences directes. Cette différence constitue

<'^ Les tuyaux fermés ne peuvent être employés dans ces expériences, parce qu'il est impossible de donner ù la paix)i qui en forme le fond une résistance suffisante : cette paroi ne peut plus être considém» comme inéhrnnialilo, sous rinffuence des vilinitions du liquide.

Vbrdet, 1H. — Cours de phys. 11.

o

66 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

une difficulté dont Tinteq^rétation théorique n'est pas complète- ment connue.

3 /i5. Réfraetion du son à 1» surface de séparation d*uu liquide et d'un saz. — La réfraction qu'éprouve le son en pas- sant d'un liquide dans un gaz , ou réciproquement , peut être dé- montrée sans peine par l'expérience qui consiste à concentrer les ondes sonores au moyen d'une lentille biconcave pleine d'eau.

On remarquera, en outre, que les ondes produites dans l'eau peu- vent toujours se transmettre de ce liquide à l'air : au contraire, les ondes produites dans l'air et arrivant à la surface de l'eau éprouvent la réflexion totale lorsque l'angle d'incidence est tel que son sinus soit plus grand que le rapport de la vitesse du son dans l'air à la vitesse du son dans l'eau ^^K

Enfin, dans le petit nombre des expériences qui ont été faites sur ce sujet, on a toujours constaté que les sons transmis des gaz aux liquides sont remarquables par leur faible intensité : c'est un ré- sultat qu'il était facile de prévoir.

^'^ L'interprétation de cette loi, qui est analogue à celle que suivent les ondes lumi- neuses dans les circonstances semblables, sera donnée plus loin.

ÉLASTICITÉ DES CORPS SOLIDES.

3&6. Cmwmmièr^ distlBCtlfii de l'étet fluide et de l'étet

^, — Vital fuide, défini souvent d'une manière plus ou moins vague et généralement insuffisante, peut être considéré comme Yétat d'un corps dans Uquel l'équilibre m peut exister que si les pressions sont partout normales aux éléments sur lesquels elles s'exercent. — Cet énoncé revient évidemment à considérer l'état fluide comme celui d'un corps dans lequel la résistance au glissement est nulle. De cette définition il est d'ailleurs facile de déduire la démonstration des deux principes fondamentaux de l'hydrostatique, le principe de Y^a- Hti de pression en tous sens, et le principe de ïégale transmission des pressions ^^K ^

Dès lors, l'étude de l'élasticité des fluides se réduit à l'étude de leur compressibilité, et l'on a vu que cette étude, très-peu avancée pour les liquides, a été au contraire poussée assez loin pour les gaz. En eifet on a déterminé, pour quelques gaz, l'influence que la tem- pérature elle-même exerce sur la relation qui existe entre la pression et la densité ^^^

Vétat solide, au contraire, peut être considéré comme Vétat Jtun corps dans lequel Véquilihre peut exister, quoique les pressions soient oêKques aux élémetits sur lesquels elles s'exercent. — On voit, dès lors, que les pressions sur les divers éléments peuvent avoir des compo- santes tangentielles, équilibrées par la résistance au glissement : l'énoncé qui précède n'est donc qu'une expression plus précise do

^') Voyci ]c Court de Mécanique de Stiinn, 9* ëJilion, tume II, pa^^cs 981 et suivantes.

^*) L'étude complète de Pélasticité ne peut être conçue sans une étude complèle des effets de la chaleur sur les corps, et réciproquenicnl, car il est bien évident que Tétai d*un corpa dépend à la fois des forcer qui agissent sur lui et de la condition interne (rela- tive prolMblemeni aux mouveinenta des molécules) que l'expression numérique de la température sert à définir. — Or, pour les liquides, de même que pour les solides, une telle étude est i peine commencée. On ne connaît guère les effets de la chaleur que sous des presaioDS voisines de la pression atmosphérique; on nr> connaît les effets des forres méoiniques qu'à des températures voisines de léro.

o.

68 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

cette propriété, par laquelle on définit les corps solides dans l'en- seignement élémentaire, d'avoir une forme et un arrangement mo- léculaire déterminés ^^l

347. Caractères particuliers que présente l'étude de l'élasticité dans les corps solides. — De la constitution spé- ciale des corps solides il résulte que l'étude de l'élasticité doit pré- senter, dans ces corps, une complication toute particulière. Il n'est plus nécessaire, pour qu'il y ait équilibre dans un corps solide, qu'il y ait uniformité, soit dans les pressions intérieures, soit dans les pressions extérieures; de sorte qu'on peut, par exemple, atteindre à un état d'équilibre, pour un cylindre, en le pressant seulement sur ses deux bases; ou pour un ressort hélicoïde, en exerçant seulement des pressions sur ses deux extrémités, etc. Il semble, dès lors, que le nombre des expériences à faire sur ces corps soit illimité.

Une analyse exacte des conditions dans lesquelles peut se trouver placé un corps, solide a montré qu'il suffirait d'exécuter, sur chaque corps, un nombre limité d'expériences déterminant des constantes caractéristiques, pour réduire à de simples problèmes de Mécanique toutes les questions relatives à l'élasticité. — Cette analyse et le développement des questions qu'elle conduit à poser constituent la théorie mathànatt(jue de l'élasticité. Par elle-même, cette théorie ne peut fournir la solution complète d'aucune question; mais elle in- dique, d'une manière précise, les éléments que cette solution doit ' emprunter à l'expérience.

On se bornera, dans ce cours, à exposer les résultats fournis par l'expérience dans quelques cas très-simples, indépendamment de toute théorie, et à indiquer, d'une manière très-sommaire, les con- séquences les plus générales de l'analyse théorique dont on vient de faire connaître le but et la portée.

Il est essentiel de faire remarquer d'abord combien sont grandes les forces quil faut appliquer aux corps solides en général, pour

(') Tous les degrés intermédiaires existent, entre In fluidité parfaite, qui n*apf>arlient peut-être qu^aux gaz, et Tétat des corps tels que le verre, le marbre, les métaux, etc., auxquels Tusage a réservé le nom de corps solides. Les corps qui établissent la transition sont désignés, suivant les cas, par les expressions mal définies de liquidée viêqueux, de matière» pâteuiti, do matièi'ei moHê9, etc.

ÉLASTICITÉ DES CORPS SOLIDES. 69

produire une déformation appréciable; cette grandeur «st telle, que, dans la plupart des cas, on peut regarder comme négligeable la pression atmospbérique qui agit sur la surface des corps à l'ori- gine des expériences.

348. CoMippMMiMllM «uMque. — Aucune expérience directe n'a été tentée jusqu'ici sur la compressibilité cubique des corps so- lides. — On ne conçoit guère d'autre disposition expérimentale que celle qui consisterait à comprimer uniformément la surface d'un so- lide, par l'intermédiaire d'un liquide ou d'un gaz, et àniesurer la contraction de ses dimensions linéaires. Il est à peine nécessaire de faire remarquer combien il serait diflicile de réaliser une pareille expérience, dans des conditions telles que les ré- sultats obtenus fussent vraiment significatifs. '

3^9. Etude expérimentale des allange- mentH ppoduàts sur les Bis par la traction.

— L'appareil représenté par la figure 3i3 a été employé pour étudier les lois de l'allongement qu'éprouvent tes fils métalliques, sous l'influence de tractions considérables. Le fil soumis à l'expérience est placé verticalement, et assujetti à sa partie su- périeure dans un étau E fixé à un mur solide ; il est .- serré k sa partie inférieure dans un étau semblable

p 6 P F, qui supporte une caisse CC, reposant d'abord B|HH sur le sol par des vis calantes. C'est dans celte fl^^H caisse que sont placés les poids P qui formeront la fl|^^H^ cbai^e destinée à allonger le fd. — En donnant à ^^^^^^^ cette cbarge diverses valeurs, on mesure au catbé- ^^^^^^^^ tomètre les distances de deux points de repère m, M, placés sur le lil , au voisinage de ses extrémités. Pour assurer l'exactitude des résultats, on aura soin, avant cfaaque expérience, de descendre d'abord les vis calantes de manière qu'elles reposent sur le sol, et qu'elles soutiennent la caisse au moment oiî l'on y place les poids : puis, la charge étant réglée, on fera tourner ces vis de manière à les éloigner lentement du sol et a laisser agir la

70 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

charge saus donner de secousse au til. — On devra, en ou Ire, tenir compte seulement des observations dans lesquelles la charge aara été supérieure à celle qui est nécessaire pour redresser le fii : on sera d'ailleurs certain qu'on a atteint la valeur de la charge qui redresse complètement le (il, lorsque des valeurs plus grandes de la charge elle-même produiront, entre les deux points de repère, des accroissements de distance variant d'une manière régulière.

D après les résultats fournis par ces expériences, rallongement éprouvé par une tige métallique bien tendue est : t" proportionnel a la longueur ^^^; 3" inversement proportionnel à la section; 3° propor- tionnel à la charge; 4° variable d'un solide à un autre.

Ces diverses lois expérimentales sont évidemment comprises dans la formule générale

^-m7'

dans laquelle / est la longueur du til, s sa section; M est un coeffi- cient particulier, caractéristique de la matière même du fil et de son état physique; P est une surcharge déterminée; X est rallon- gement correspondant.

Le coefficient M a reçu le nom de coefficient d'élasticité de traetim , ou de module d'élasticité. — Si l'on veut donner une interprétation a cette quantité numérique, on voit qu'en faisant 5 = 1 et X=/daps la formule qui précède, on obtient pour le poids P la valeur par- ticulière P = M. On voit donc que le coefficient d'élasticité peut être considéré comme exprimant le poids qui serait capable de doubler la longueur d'une tige de même nature et ayant pour sectioil l'unité, si les lois de l'allongement restaient les mêmes jusqu'à celte limite : cette dernière hypothèse est certainement tout à fait en dehors de la réalité.

350. Yalewni de* «•elllcieiits d'élasticité de traetl#A*

— Si l'on prend pour unité de longueur le mètre, pour unité de section le millimètre carré, pour unité de poids le kilogramme, les

^') Oetie loi peut être regardée comme évidente a prinri |K>iir mi Ht homogène, et la vérification expérimentale qu^on en peut faire n^est en rcaliié (|(riifi moyen de s^assurer de cette homogénéité.

ÉLASTICITÉ DES CORPS SOLIDES. 71

coefficients d'élasticité des principaux métaux ont, d'après Werlheim, les valeurs suivantes, pour des températures comprises entre i5 et 2 0 degrés :

Plomb 17Q7 à i8o3

Or 5584 à 8i3i

Argent 71/io à 7857

Zinc 8734 à 903 1

Palladium . 9789 à 1 1759

Cuivre.. 10619 à 124/19

Platiae i55i8 à 17044

Acier ,. 17278 à 19661

Fer i86i3 à 20869

Les variations considérables que l'on observe dans les valeur^ du coefficient d'élasticité d'un même métal dépendent principalement de la manière dont il a été travaillé, et du recuit auquel il a pu être soumis.

Entre i5 degrés au-dessous de zéro et a 00 degrés, l'expérience a montré que le coefficient d'élasticité des métaux recuits augmente à mesure que la température s'élève.

351 . liimite d*élastieité. — Lorsque la charge employée avec un fil déterminé dépasse une certaine limite, variable d'ailleurs d'un fil à un autre, il se produit un allongement permanent, c'est-à- dire que ce fil ne reprend plus sa longueur primitive quand on vient ensuite à supprimer la charge : on dit alors qu'on a dépassé la limite d'élasticité. — Les lois exprimées par la formule qui précède sont d'ailleurs encore applicables au fil ainsi modifié, pourvu que l'on désigne par X l'excès de l'allongement temporaire sur l'allongement permanent.

Le temps pendant lequel la traction se continue exerce, sur la production de l'allongement permanent, une influence remarquable. — M. Vicat a observé, sur des fils de fer, un allongement progressif pendant près de trois ans; Wertheim, à l'aide de mesures très- précises, a pu faire des observations analogues sur la plupart des métaux , en laissant agir la charge pendant quelques jours. — Il est probable qu'il n'existe pas, à proprement parler, pour les métaux.

72 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

de limite d'élasticité, et que les plus faibles charges produiraient un allongement permanent, si on les laissait agir assez longtemps.

Enfin un accroissement suffisant de la charge a pour conséquence la rupture. — Il n'existe pas de relation générale entre la résistance à la rupture et le coefficient d'élasticité. L'expérience montre d'ail- leurs que la rupture peut être produite par l'action prolongée d'une charge que le métal était d'abord capable de soutenir.

On peut remarquer que le phénomène de la rupture accuse un défaut d'homogénéité dans la structure moléculaire : un fil parfaite- ment homogène devrait se réduire en poudre, au lieu de se séparer en deux fragments. — Cette simple observation suffit pour expliquer l'extrême variabilité de résistance à la rupture que présentent sou- vent divers échantillons d'un même métal.

352. Contraeiion tranaYersale aeeompaurni^nt Talloii- K^emeni produit par la traction. — Lorsqu'on opère sur les matières très-extensibles, telles que le caoutchouc, on observe, sans aucune difficulté, qu'un allongement produit par la traction est accompagné d'une contraction transversale. — Sur les autres corps solides , on a pu constater le même phénomène de deux manières différentes.

i** Métlwde de Cagniard de Latour, — Dans l'intérieur d'un tube cylindrique plein de liquide AB (fig. 3 1 à ), on place le fil à étudier; on le scelle dans le fond M du tube, et on fait agir sur lili une trac- lion, par l'intermédiaire d'un poids P et d'un système de poulies S, S\ disposées à la partie supérieure. L'abaissement du niveau A du liquide dans le tube indique que le volume de la portion immergée du fil a diminué, et, par conséquent, que le diamètre transversal s'est contracté. — On doit à Cagniard de Lntour une série de me- sures destinées à évaluer numériquement les divers éléments du phénomène : les conditions mêmes dans lesquelles il se produit rendent à peu près impossible toute détermination précise.

a" Méthode de M. Regnault, appliquée par Wertlieim. — Un cylindre creux PQ (fig. 3 1 5), formé par un tube métallique, par exemple, et rempli d'eau, est soumis à une traction longitudinale; pour cela, il est assujetti à ses extrémités dans des pièces métalliques a, b, qui

ÉLASTICITÉ DES CORPS SOLIDES. 73

sont destinées, l'une à appliquer la charge, l'autre à pcrmetlre de fixer le svNlèmfî dans l'appareil tic suspension. On mesure l'allon- gement du cylindre, par la méthode indiquée plus haul{3i9); quant

4-

à l'abaissement du niveau de l'eau, pour plus d'exactitude on l'ob- serve dans un tube de verre capillaire t qui surmonte le cylindre. La seconde mesure fait connaître lo variation du volume intëiieur, et. en lu combinant avec la m^ure de l'allongeinent, il est facile de calculer ie changement du dranièire transversal interne; ce chan- gement est toujours une contraction.

On a prétendu que ie rapport de la contraction transversale à l'allongement avait la même valeur dans tous tes corps.: cette assertion, très-improbable a priori, n'est pas justifiée par les expé- riences connues.

353. CvmprcMdoM longltudinalct — L'étude expérimen- tale de la compression longitudinale qui se produit dans les corps

"S KLASTIGITÉ ET ACOUSTIQUE,

solides, quand on les soumet à une pression dans le sens de leur plus grande dimension, présente des dilTicultés particulières : il est en effet presque impossible d'éviter la flexion qui résulte alors né- cessairement du moindre défaut de symétrie ou d'homogénéité dans le corps. — La proportionnalité de l'allongement à la charge, qui s'observe dans les expériences de traction, entre certaines limites, riutorisc à admettre que, entre ces m4mes limites, le racn>urcisse- ment produit par la compression est égal et de signe contraire à rallonfjemenl produit par une égale traction.

354. Flexion. — Pour ce qui cuneerne la fleiîoa, on se bor- nera à l'indication sommaire de deui cas très-simples : l'étude dé- taillée du phénomène constitue un des chapitres principaux de la MtVa nique.

1° Ver^ piinitilrée par une de tes extrémtéi. — On dît qu'une verge esl rncantrée par nne de ses extrémités, lorsque cette p\tré- mile est assujettie de telle manière que la direction du premier l'-lémenl libre de la verge soit invariable. — Si l'on assujettit de • elle manière une verge AB (fig. 3i(>), à son extrémité A, de fa-

<;fiii (|ui> le premier l'ii'nieni qui suit le point A soil mainli-iiii iiiva- rrablenienl dans une position hortîontalr. e| qu'on applique à l'autn* eïirémilé B un |ioids P, re\p<''ri<>ncc tiionln< que le dépliicenienl de l'exlréiniti' libre esl projutrlioHiirl m la rlrirgr et pmjmrt'tnnttfl un nihf de In limijneur. — Si la section di* la vergi' esl recliingiilain'. le déplacement est en ntiton invenif du produil de In «wIioh ^xir le ravrf lie l'ffHi'iMCttr.

ÉLASTICITÉ DKS OOKPS SOLIDES. 75

a' Vei^e reposant tur deux appui» voisina de se» exirémitis. — Si

l'on place une verge sur deux arêtes vives, situées dans un même

plan horiiontai , de manière que les points d'appui A et A' ( (ij;. 3 1 7 )

soient voisins de ses extrémités, et si l'on applique en son milieu B un poids P, l'expérience montre que la flèche de flexion varie sui- veml les mêmes lots que le déplacement de l'eitrétnité libre dans le cas précédent : pour les mêmes vuleurs de la charge, de la longueur et de la section, la valeur numérique de la longueur de la flèche est différente.

Lorsqu'une verge n'est soumise qu'à des forces perpendiculaires à son axe, qui l'infléchissent très-peu, on peut admettre que les mo- lécules qui se trouvaient, à l'état naturel, contenues dans une même section perpendiculaire à l'axe , y demeurent contenues après la flexion. Il suit de là que toutes les droites qui éiaient primitive- ment parallèles à l'axe présentent le même système de courbure, et, comme d'ailleurs l'action de forces perpendiculaires à l'axe ne saurait produire un allongement ou un raccourcissement, il est nécessaire que la longueur moyenne de ces diverses droites soit la même avant cl après la flexion. Parmi les filets moléculaires dont on peut con- cevoir que la vei^e est formée, il y en a donc qui augmentent de longueur et d'autres qui diminuent : c'est la tendance de tous ces filets à reprendre leur longueur primitive qui est lu cause de la résistance à la flexion. — Cette remarque a permis à Euler de dé- duire les lois de la flexion de celles de l'allongement, antérieurement à toute expérience.

Les lois qu'on vient d'indiquer nionlmiit que, à mesure que la

76 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE,

section des verges diminue, la résistance à la flexion diminue aussi; on comprend donc (|iie, |)ar une réduction indéfinie de ses dimen- sions transversales, toute verge tend à se transformer en un fil ou en une corde parfaitement flexible, qui n'a de forme déterminée qu'au- tant que des tensions égales et opposées agissent sur ses extrémités. — Le problème de l'équilibre d'une corde flexible appartient h l'étude de U Mécanique; les lois des vibrations qu'elle exécute quand on lecarte de cette position d'équilibre seront étudiées plus loin.

^{55. TorsloB. — E«yériw— «le C7««l*mb. — L'étude

ili','. lois i\i' la torsion a été faite d'abord par Coulomb : les expé- riences ont été exécutées spécialement sur àea^U mélailiqiies, par ia miOMie den otciUalions.

Un Til AB (fig. 3i8), fixé par son extrémité supérieure A, soutient une sphère métallique G, dont, le poids est très -considérable par rapport k relui du fil ; à celle sphère est fixée une ai- guille horizontale M, mobile sur un cadran divisé MN. — Après avoir laissé le fil prendre une position d'équilibre, on déplace l'extrémité libre de lai- fpiille, de manière k lui faire décrire un arc plus ou moins considérable sur le cercle. Le fil est ainsi tordu d'un angle connu, et l'on abandonne alors l'extrémité de l'aiguille à elle-m^me : elle exécute, autour de sa position d'é- quilibre, des oscillations dont on ob- serve la durée.

L'expérience montre que la durée des oscillations est indépendante de leur amplitude, et cela entre des limites très-élendues. On en conclut c|ue la force de torsion est, à chaque instant, proporltoHuelk à l'utile de. tonioii, de même que, dans les oscillations infimmenl petites et isochrones d'au pendule

ÉLASTICITÉ DES CORPS SOLIDES. 77

la composante elTicace de l'action de la pesanteur est, à chaque instant, proportionnelle à l'angle d'écart. — Dès lors, si l'ondi^- signe par T la durée d'une oscillation, par F le moment du couple de torsion, par M le moment d'inertie du système oscillant, qui se réduit sensiblement à celui de la sphère C, la formule

permet de calculer F.

En faisant varier les dimensions et la nature du fil, on recoimail que le moment du couple de torsion varie «i raison inverse de la langueur du fil, et proportionnellement à la quatrième puissance de son diamètre. 11 augmente en même temps que le coeificient d'élasticité, sans lui être proportionnel.

356. Expérience* de ÏVertheim.

bord, et à Wertheim ensuite, plusîeur

— On doit à Savarl d'a- séries d'expériences dans

lesquelles on s'est proposé de vérifier les lois de la torsion, dans le

7« ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

cas des verges ayant une section transversale un peu grande, par

l'observation directe des valeurs du couple de torsion.

Dans l'appareil de Werlheim(lig. 3i ^), tes deux extrémités A et B de la verge sont encastrées dans des pièces métalliques G, D : l'une de ces pièces D est solidement fixée dans un élau massif, l'autre G est rendue solidaire de l'axe d'une roue S : cette roue est sollicitée . à tourner par l'action de deux poids égaux P, P', qui agissent en sens contraire aux extrémités d'un même diamètre, par l'intermédiaire de deux cordes dont l'une pas.se sur une poulie R. L'aiguille a, qui est fixée sur la verge et dont l'extrémité se trouve sur le cadran fixe mn, sert à constater que l'extrémité B n'éprouve ri5ciiement aucun déplacement, pendant que l'effort de torsion a lieu. Une alidade, qui est munie d'un vernier et Éixée invariablemenl au bâti qui supporte l'appareil, sert , avec la division de la roue S , à mesurer l'angle dunt a tourné l'extrémité A.

Des expériences exécutées avec cet appareil il résulte que les lois Indiquées par Goulomb, pour les fils métalliques, sont appli- cables au\ verge.s solides ayant une section transversale beaucoup plus grande. — Weriheim m vérifié, en effet, que le moment du couple de torsion, mesuré directement, est proportionnel à l'angle de torsion, qu'il est inversement proportloiuiel à la longueur de la MTge. el proporlionnel au cjirré de In section.

357. Can«ldénttl»BS «énérnlM. — CseMcêenU tmmûm •

mentaum dr 1» th««rie «e VéêMmUmUé. — Soit un parallélipi- pède rectangle (fig. 3ao) soumis d'abord, sur ses deux bases ABDG, EFHG, i'i l'ar- lion de preasious nonnales, égales el op- posées. Il résulte des lois de l'allonge- ment que Iw ar4tes parallèles à AE se raccourciront, tandis que les arêtes per- pendiculaires s'allongeront , et que les changements relatifs de longueur seront proportionnels au quotient de la pression normale par l'aire de ABGD, c'est-à-dire a pression exercée sur l'unité de surface des bases.

ÉLASTICITÉ DES CORPS SOLIDES. 79

En appelant a le raccourcissement relatif de l'arête AE, /S rallon- gement relatif des arêtes AB et AC , et en désignant par P la pression exercée sur l'unité de surface, on aura

a==.mP, /3==nP,

m et w étant des coeflScienIs dont l'expérience seule peut donner la valeur.

De même, si l'on conçoit qu'une pression Q agisse sur l'unité de surface de chacune des faces ABFE, CDHG, l'arête AC éprouvera un raccourcissement a', et les arêtes AB, AE un allongement ,6', et l'on aura

Si une pression R agit sur l'unité de surface de chacune dos faces ACGE, BDHF, l'arête AB éprouvera un raccourcissement a\ les arêtes AE, Ad un allongement /3", et l'on aura

Enlin, si les trois couples de pressions P, 0, R agissent simulta*- nément, leurs effets se superposeront ^^^ et, en appelant e, s\ s" les variations relatives de longueur des trois arêtes AE, A(] . AB, on

aura

e = a -(/3'+^").

£' = «' -(/3 + /S").

c'esl-à-dir»'

£ =,„P_m(0 + R),

£' = mQ-n(P + R), e" = »)R-n(P + 0).

t^) Dans les limites entre let^quelles les changements cie dimensions SoHt proportionnels aui pressions ou aux tractions, il est clair que reflet d'une pression ou d'une traction est indépendant de rexislentîe d'une traction on d'une pression antérieure. C'est re qu'on ex- prime en disant que les eflets do plusieurs pressions ou de plusieurs tractions se super- posent.

80 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

Il est facile d'en conclure (|ue

P = He + K(e'+e"), Q=He' + K (£ + /).

R = He''+K(e4-e'),

en faisant H = „^^J'1~"_^,^,, '^ =,«(„.-".; -a»-' " *^«"<^ '«» pressions exercées sur les bases du parallélipipède, et par suite les réactions élastiques du paralléiipipède lui-même, sont exprimables en fonction linéaire des variations relatives de longueur des arêtes, au moyen de deux coefficients constants.

Ces deux coefficients H et K sont les éléments fondamentaux de la théorie de l'élasticité. L'expérience seule peut les déterminer, direc- tement ou indirectement; mais, une fois qu'elle les a déterminés, toutes les questions relatives aux petites déformations produites par l'action d'un système de forces quelconques se réduisent à de simples problèmes de Mécanique rationnelle, et n'offrent plus que des difficultés de calcuU*^ En effet, l'analyse exacte des conditions de l'équilibre intérieur d'un corps solide élastique démontre qu'en chaque point de ce corps il existe trois directions rectangulaires, variables d'ailleurs d'un point à l'autre, telles que les éléments per- pendiculaires à ces directions supportent des pressions ou des trac- tions normales. Un paralléiipipède infiniment petit, ayant ses arêtes parallèles à ces trois directions , se trouve dans les conditions du pa- ralléiipipède qu'on vient de considérer plus haut, et il suffit d'ex- primer, d'une manière générale, les relations qui existent entre les pressions qu'il supporte et les changements de longueur de ses dimensions infiniment petites, pour obtenir les équations différen- tielles du problème considéré.

La détermination des coefficients H et K n'a encore été faite avec exactitude pour aucun corps ^'^^. — C'est pour cette raison qu'il est

(') La solution de ces divers problèmes est aujourd'hui restreinte entre les limites oà s^observe la proportionnalité des déformations élastiques aui forces qui les produisent. En dehors de ces limites, il serait nécessaire de connaître la loi suivant laquelle les roeffi> cients H et K varient a\ec la pression. •

'') Les formules qui expriment, en fonction des changements de dimeiiHioiui ou JiUtlm»

ÉLASTICITÉ DES CORPS SOLIDES. 81

impossible de déterminer rigoureusement la correction qu'il faudrait ajouter aux compressibilités apparentes des liquides, mesurées par M. Regnault, pour en déduire les compressibilités absolues.

tioni Unéairei, les forces qui agissent sur runilé de surface des faces d'un parallélipipèdc rectangle, peuvent s'écrire

P = (H-K)e+R(e + e'H-e"), Q==(H-K)e'H-K(eH-e'-+-e"), R = (H-K)e"4-R(e-He'H-e").

On convient, en général, de prendre positivement les valeurs de e, e', e" lorsqu'elles représentent des accroissements de longueur, et les forces P, Q, R lorsqu'elles représen- tent des tractions et non des pressions. — En appelant 6 la variation relative du volume ou dilatation cubique du parallélipipède, on a, en raison de la petitesse des déformations élastiques,

fl = £-+-€' -H e",

de sorte qu'en posant K = à, H — K = 9fA, pour se conformer aux notations des leçons classiques de M. Lamé sur l'élasticité, on a

P = Afl-+-2|tze,

Chacune des tractions ou des pressions est donc la somme d'un terme proportionnel à la dilatation cubique et d'un terme proportionnel à la dilatation linéaire parallèle à la pression considérée.

Un parallélipipèdc liquide ne pourrait être en équilibre que si les pressions exercées sur ses six faces étaient égales; et Ton sait, eu outre, que l'accroissement de densité ou l'ac- croissement négatif de volume du liquide serait proporliôilnel à la pression. On aurait donc

p = Q = R = X9.

Par conséquent, il est possible de comprendre dans une même théorie générale les solides et les liquides, en admettant que, pour celte dernière classe de corps, le coefficient ùfi se réduit à zéro. Il suit de là que, si dans certains corps le coefficient afx est très-petit sans être nul, ces corps, qui seront en réalité des solides, se rapprocheront des liquides par l'ensemble de leurs propriétés. — De tels corps existent : ce sont ceux que l'ou désigne, dans le langage ordinaire, par les expressions vagues de matière» pâteuse» ^ matières molle» y ou même de liquide» vi»queux. On peut même dire que la nature réalise tous les degrés mtermédiaires entre des solides tels que le verre on le marbre et un liquide tel que l'eau. — Il est donc impossible que les coefficients A et fx aient l'un avec Taùlre quelque relation générale, indépendante de la nature des corps; les recherches expérimentales entreprises à diverses époques, pour déterminer une telle relation, ne pouvaient donner et n'ont ciïectivement donné aucun résultat.

Vbrdbt, \\\. — Cours de phys. H.

PROPAGATION ET PRODUCTION DU S0\

DANS LES SOLIDES.

PROPAGATION DU S0> DANS LES SOLIDES.

358. Pr«p«iraiioii du son dRits une tise de petit mètre, ébranlée parallèlement à sa longeneiir. — mule de Ijaplaee. — En ronsidénnnt une lige solide^ d'un dia- mètre très-|)elil par rapport à sa longueur, Laplace a pu calculer la vitesse de propagation d'un ébranlement imprimé à l'un de ses poinis dans une direction parallèle à sa longueur.

En désignant par g Faccélération due à la pesanteur, par e l'al- longement éprouvé par une tige de même nature et de longueur ' égale à Funité, sous Tinfluence d'une traction égale à son poids, il a trouvé que la vitesse de propagation a de l'ébranlement, dans le sens de la longueur, doit être •

"=Vf

Si Ton représente par E le coefficient d'élasticité du corps s lide considéré, par D son poids spécifique, et si l'on remplace l'allongement e par sa valeur en fonction du coefficient E, déduite de la formule donnée précédemment (349), on met cette expression sous une autre forme, savoir

formule que l'on peut chercher à vérifier par l'expérience ^*^

'*) Lor^ue. pour motlrp cette fonniilo on nombres, on ralciile E en appliquant à iin^ expérienre d^allongement la formule

il est essi^ntiel de prendre des unités de longueur et de stuTace corrélatives. Il faut bien se garder, par exemple, de prendre le mèlrc pour unité de longueur, et le milKmèlre canv pour uniléde section, connue on Ta fait dans ii^ ialileau des roclFirituls dVIaMîrilé nin a été doniii' plus haul (.*(r>0).

PROPAGATION DU SON DANS LES SOLIDES. 83

359. EmpérieveMi relatives m im viteeee du Mm tUms les tises eolidee d'une ffraiide tonsueur. — Il est manifeste que la détermination directe de la vitesse de propagation du son , dans des tiges solides d'pne faible section et d'une gi*ande longueur, doit offrir des diflicultés pratiques considérables : aussi les essais tentés jusqu'à ce jour dans cette direction présentent-ils une imperfection extrême.

Biol a cherché à déterminer la vitesse de propagation du son dans la fonte, en observant la propagation d'un ébranlement com- muniqué à Tune des extrémités d'une conduite de tuyaux destinée aux eaux d'Arcueil. La longueur parcourue était seulement de g5i mètres, et la durée de la propagation dans toute cette longueur était inférieure à trois dixièmes de seconde : les moindres erreurs avaient donc une influence considérable. 11 faut remarquer, en outre, qu'il n'y avait pas continuité absolue entre tous les tuyaux consécutifs.

Wertheim et Bréguet reprirent la même question pour le fer, en opérant sur une ligne de fils télégraphiques tendue entre Asnières etPuteaux. La longueur parcourue excédait A kilomètres, et la durée de propagation était supérieure à une seconde; mais la continuité du corps solide n'était pas mieux assurée. Il s'est présenté d'ailleurs quelques particularités inexplicables, qui ne permettent pas d'avoir confiance dans les résultats obtenus : on a constaté, par exemple, que le son était complètement intercepté par un tunnel dont les fils ne touchaient pas les parois, c est-à-dire, en réalité, par le mont Valérien. Il est donc probable que, ce que les observateurs enten- daient réellement dans leurs expériences, c'était le son transmis par le sol dans lequel s'enfonçaient les poteaux du télégraphe.

360. Pro|Niiratioii du son daus une niasse solide indé- finie. — Lorsqu'on étudie théoriquement la propagation d'un ébranlement dans une masse solide indéfinie , on trouve qu'il doit se former deux ondes distinctes, l'une à vibrations normales à sa surface ou vibrations longitudinales^ l'autre à vibrations transversales.

Si l'on désigne par 90 le rapport qui existe entre la contraction transversale relative et l'allongement relatif, dans une tige soumise

(î.

RLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

■ii, i«.kU'i»« longitudinale, le râleur donne, pour la vitesse de '•i»vli ^ v'h'«li»»"< longiludinales, la valeur

.M .-6>

6] OM^ht }\ la vitesse de Tonde à vibrations longitudinales, on

UvUSiî

c

/^E i - 16

Viy

Auiîune expérience directe n'a vérifié ces résultats de la théorie. — On doit seulement à Wertheim cette remarque, que les phéno- mènes des tremblements de terre semblent accuser effectivement la production de deux ondes.

PRODLCTION DU SON PAR LES CORPS SOLIDES.

361 . Yibrations lonsitiidinales des solides mjmwkt de pe- tites dimensions transversales (vernies ou eordes.) — La

propagation et la combinaison des ébranlements produits dans une verge solide, parallèlement à sa plus grande dimension, doivent s'effectuer comme dans un tuyau de petit diamètre. De là résulte que les lois relatives aux divers sons qui peuvent s'y produire par les vibrations longitudinales doivent être analo;]ues aux lois des tuyaux sonores (332). — Pour déterminer la position des nœuds fixes, on cherchera la position des points de la verge que l'on prut toucher sans que le mouvement vibratoire soit altéré.

Trois cas sont à distinguer, selon la manière dont la verge vi- brante est assujettie.

1° Verge libre à ses deux extrémités. — L'expérience montre, comme la tliéorie le faisait prévoir, que les lois sont celles des tuyaux ouverts aux deux bouts. — Pour faire vibrer une verge en laissant ses deux extrémités libres, on la saisira, dans chaque cas, par un point situé de façon qu'il doive correspondre à un nœud, pour l'har- monique que l'on veut produire.

2° Verge libre à une extrémité, fixée à Vautre, — Les lois sont celles des tuyaux ouverts à un bout et fermés à l'autre.

PRODUCTION DU SON PAR LES SOLIDES. 85

3° Verge ou corde fixée à ses deux bouts. — La série des sons est la même que celle d'une verge libre à ses deux extrémités, mais les nœuds et les ventres occupent des positions inverses. — On voit en effet, a priori, que Ton peut, en admettant d'abord que le milieu de la verge corresponde à un ventre, regarder les deux moitiés de cette verge comme constituant deux verges fixées à un bout, libres à l'autre, et assemblées de façon que leurs mouvements aient toujouiis lieu dans le même sens : on est ainsi conduit à la série des sons

• • • •

Mais on peut aussi , en admettant que le milieu de la verge cor- responde à un nœud, regarder ses deux moitiés comme constituant deux verges fixées aux deux bouts, et assemblées de manière queleujrs vibrations aient toujours lieu en sens contraire, ce qui donne la série des sons

3 4 6 8. . . .

L'ensemble de ces deux séries donne la suite entière des nombres naturels, comme pour une verge dont les deux extrémités sont libres.

Dans ces divers cas, on constate toujours que, pourvu que la lon- gueur soit asse:9 grande par rapport aux dimensions transversales, la valeur absolue des dimensions transversales elles-mêmes n'a pas d'influence.

Enfin , lorsqu'on opère sur une corde et qu'on fait varier la gran- deur du poids par lequel il est toujours indispensable de la tendre, on constate également que la valeur de ce poids ejst sans influence sur les vibrations longitudinales.

Ces diverses lois, dont il sufiira d'avoir donné ici Ténoncé, ont été établies par Chiadni.

362. mesure de la vitesse dii son dans les aalides et du eeeflleieiit d'élastieité, au moyen des iribrations lonsitu- dinalea. — Les rapprochements que les lois précédentes établissent, entre les vibrations longitudinales des verges ou des cordes et celles des tuyaux sonores , fournissent immédiatement une méthode de dé-

86 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

terminalion de la vitesse du son dans les corps solides, et permet- tent, par suile, de calculer également le coefficient d'élasticité.

Le tableau ci-dessous contient les résultats obtenus par Wer^ theim, en appliquant aux vibrations longitudinales des verges des formules semblables à celles qui ont servi pour déterminer la vitesse du son dans les gaz au moyen des tuyaux sonores. — Toutes ces vitesses sont évaluées en prenant pour unifé la vitesse du son dans fair'.

Plomb 3,97a à 6,iao-*^

Or 5,6o3 à 6,6aà

Étain 7,338 à 7,680

PlaUne . 7,8tj3 à 8,667

Argent 7-9o3 à 8,087

Zinc (j,863 à 1 1,007

Laiton. . '. io\'2ùli

Cuivre 11,167 *

Acier 1Â.961 à 10,108

Fer i5.io8

Cristal 1 1,890 à iâ,âao

Verre 1 6,966 à 1 6.709

Bois de chêne 9*90*'^ ^ iîi,8ao

Bois de sapin 1^,690 a 17,360

Les coefficients d'élasticité qui ont été déduits de ces expériences par ^^ertheim sont généralement un peu supérieurs à ceux que don- nent les expériences de traction (350). — Ces différences peuvent être dues d'abord à une certaine influence des effets calorifiques produits par la compression ou parla dilatation. Mais il faut remar- quer, en outre, que iorsqu*on soumet une tige solide à l'action d'an poids, comme on le fait dans les expériences de traction, rallon- gement maximum de celte tige ne se produit qu'au bout d'un cer- tain temps, et l'on ne procède aux mesures que lorsque l'état définitif jiaratt obtenu. Il est trlair que l'allongement ainsi mesuré doit être s,upériear.a celui que produirait la même force, si son action ne sVxerçait que pendant un temps très-court : or c'est précisément

■') Los variations qiio pré:»i'n(e la vitesse du ^>oll clans 1111 même corps tieiiiicnl eu gcué- ml aui diflerences qu'il peut ofTrir dans son étal pliysiijue. En {rôncraU la vitesse du son est moindre dans les métaux recuits que dans k*s métaux écrouis.

PRODUCTION DU SON PAU LES SOLIDES. 87

pendant un temps Irès-coùrt que doit s'exercer, dan§ le mouvement vibratoire, l'action des forces produites par les condensations et les dilatations successives. On conçoit donc que le coefficient d'élasticité obtenu par la traction, c'est-à-dire le rapport de la force à l'allon- gement que donnent les expériences directes, doive être moindre que le rapport qu'il faudrait employer pour calculer la vitesse théo- rique de propagation.

363. ITibratiOBS tourimittcs des wer^es et deseordes. —

Les lois des vibrations tournantes , découvertes également par Chladni , sont les mêmes que celles des vibrations transversales.

Toutes choses égales d'ailleurs, le son fondamental des vibrations tournantes est seulement plus grave que celui des vibrations longi- tudinales; le rapport du nombre de vibrations de l'un au nombre de vibrations de l'autre dépend de la nature de ia verge et de*la forme de sa section.

36â. ITibratioiis traiisweiniales. — Pour Tétude des vibra- tions transversales, il devient nécessaire de considérer séparément les cordes et les verges.

Les cordes se distinguent des verges en ce que, si l'on fait abs- traction de l'action exercée sur elles par l'effet de la pesanteur, action toujours très-faible , on peut les regarder comme n'ayant de iigure déterminée qu'autant qu'elles sont tendues, en une ligne sensiblement droite, par deux forces égales agissant en sens con- traire sur leurs extrémités. Les verges élastiques, au contraire, reviennent d'elles-mêmes à leur figure initiale toutes les fois qu'elles en sont écartées.

Cette distinction n'a cependant rien d'absolu , car il n'existe pas de corde parfaitement flexible, et, d'un autre côté, on peut toujours ajouter à l'effet propre de l'élasticité d'une verge celui d'une tension extérieure agissant sur ses extrémités. On peut remarquer d'ailleurs que, en réduisant suffisamment la section d'une. verge donnée, on peut toujours lui donner une flexibilité telle, que ses propriétés ne diffèrent pas sensiblement de celles d'une corde idéale; inversement, si l'on augmente suffisamment les dimensions transversales du corps

88 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

le plus flexible, on peut toujours rendre les effets de son élasticité comparables à ceux de sa tension. — Enfin, à dimensions égales, les cordes doivent être considérées comme ayanl des propriétés plus ou moins voisines de celles des verges, selon l'élasticité de la matière qui les constitue : c*est ainsi, par exemple, que les cordes métalliques sont toujours, toutes choses égales d'ailleurs, beaucoup plus sem- blables à de véritables verges que les cordes de nature organique.

L'étude des vibrations transversales des verges proprement dites, qui contribue à faire connaître la résistance que ces corps opposent à l'action de forces tendant à les déforn^er, importe à la théorie gé- nérale de l'élasticité, au même titre que l'étude des vibrations lon-^ gitudinales et des vibrations tournantes. — Jj'étude des vibrations transversales des cordes n'intéresse que l'acoustique pure; elle fait connaître les lois du diouvement vibratoire auquel il convient de comparer les autres.

On exposera d'abord les résultats relatifs aux vibrations transver- sales des cordes.

365. Vibrations transwersales des cordes* — Le nombre de vibrations qui correspond au son fondamental d'une corde qui vibre transversalement est proportionnel à la racine carrée du poids ten^ seur; il est en raison inverse de là longtieur, de la racine carrée de la section, et de la racine carrée de la densité.

Il est facile de voir que les lois indiquées par cet énoncé sonf comprises dans la formule suivante, donnée par Taylor,

N

formule dans laquelle N est le nombre de vibrations du son fonda- mental , g est l'intensité de la pesanteur, P est le poids tenseur, p est le poids de la corde elle-même, et / est sa longueur ^^^

Ces lois ne se vérifient exactement que pour des cordes satisfaisant à la définition qui en a été donnée plus haut (36â), c'est-à-dire ayant h la fois un diamètre très-petit et une longueur suffisamment grande. — Il faut, en outre, que les deux extrémités soient fixées

^') En eiïct, si Ton désigne par o la rcrticn do la corde, |Hir S so dcns'lé, et si Ton

PRODUCTION DV SON PAR LES SOLIDES. 89

de manière à rendre impossible toute communication du mouvement vibratoire de la corde à ses supports. C'est cette dernière condition qu'on a spécialement cherché à réaliser dans la construction de l'instrument connu sous le nom de sonomètre, h l'aide duquel on étudie en général les vibrations transversales des cordes.

La corde soumise à l'expérience, retenue à Tune de ses extrémi- tés par une cheville p (fig. Sa i), vient s'appuyer sur deux chevalets bd, ac, qui limitent la partie vibrante, et, après avoir passé sur une

Fig. 3s t.

poulie, elle reçoit à son autre extrémité un poids tenseur P. Les chevalets reposent sur une caisse en bois de sapin, destinée à ren- forcer les sons. — Pour vérifier, par exemple, l'influence de la grandeur des poids tenseurs, on charge cette corde d'un certain poids P et on la fait vibrer; au moyen de la clef A, on règle la tension de la corde cd, qui est fixée parallèlement à la première, de manière a la mettre à l'unisson. On remplace alors le poids P

remarque que sou poids n est autre chose que le produit de son volume al par son poids spécifique ig, la formule de Taylor devient

-r,v/5

et, sous cette forme, on voit immédiatement qu'elle est Texprcssion analytique des lois énoDcëes plus haut.

Enfin, si Ton veut introduire dans la formule, au lieu de la section <t de la corde, le rayon r de cette section supposée circulaire, on remplacera a par nr', ce qui donnera

"-riV/^-

Il est essentiel de remarquer que, dans la formule de Taylor (eiic qu on vient de la donner, N exprime le nombre des vibrations compUtct ou oicillatiom doublet , tel qu'il a été défini plus haut (306 ). É. F.

90 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

par un autre poids P\ et, en comparant le nouveau son rendu à celui de la corde cd, on constate que les nombres de vibrations sont entre eux comme les racines carrées des poids P et P'.

Pour vérifier la loi des longtieursy on laisse invariable le poids tenseur P de la première corde, et l'on fait varier seulement la ion-> gueur de la partie vibrante, en déplaçant le chevalet mobile m : on compare le son obtenu à celui de la seconde corde, et Ton en dé- duit le rapport des nombres de vibrations. — 11 est aisé de conce- voir comment on peut vérifier de même la loi des sections et la loi des densités.

Le sonomètre fournit encore le moyen de déterminer facilement la loi des Imrmoniques que peut rendre une même corde , sous une tension constante. — On trouve ainsi que les harmoniques succes- sifs correspondent à des nombres de vibrations qui sont entre eux comme la suite des nombres entiers i , â , 3 , . . . .

Pour déterminer, par l'expérience, la situation des nœuds fixes qui se produisent lorsqu'on fait rendre à une corde l'un de ses har- moniques, il suffit de distribuer dans toute sa longueur, de distance en distance, de petits chevrons de papier. Ils sont immédiatement renversés dans les points de la corde qui participent aux vibrations transversales : ils restent au contraire immobiles dans les points qui correspondent à des nœuds. — L'expérience ainsi faite montre que, en rendant les harmoniques de rang â , 3 , â , . . . , la corde se di- vise en a, 3, 4, . . . parties égales, séparées les unes des autres par des nœuds fixes.

366. Relation entre les ^bratione tranewersalea et tmm wibratione lon^ttiidlnalea d'une même eorde. — Lorsque l'on compare, au nombre des vibrations transversales N donné par la formule de Taylor, le nombre des vibrations longitudinales N' de la même corde, rendant le son fondamental dans les deux cas, on est conduit à la relation

N

PRODUCTION DU SON PAR LES SOLIDKS. 91

dans laquelle D désigne le poids spécifique de la corde. Or, si Ton remarque que le poids spécifique de la corde est égal à son poids /;

divisé par son volume (tI, et qu'on remplace alors D par A^ la relation devient

Jôï

N \ pi

v/?

ou enfin

Mais, si Ton représente par X rallongement qu'éprouve cette même corde sous une charge égale à P, on a, d'après ce qui a été vu pré- cédemment (349), ^ = g' —' c'est-à-dire E = -y; en remplaçant E par cette valeur, il vient définitivement

N /Â

La quantité X étant toujours petite par rapport à l, on voit que le son fondamental correspondant à la vibration transversale est toujours, pour une même corde, beaucoup moins élevé que le son fondamental correspondant à la vibration longitudinale.

367. ITibratioiis traiiswersalefi des werses. — Les lois des vibrations longitudinales ont pu être déduites immédiatement des lois de la propagation et de la réflexion d'un ébranlement longitu- dinal. — Il en est autrement des lois des vibrations transversales ou des vibrations tournantes. La théorie de ces phénomènes est fondée sur des considérations du genre de celles ([ui ont été indiquées plus haut, à propos de la flexion.

Les lois des vibrations transversales des verges ont été d'abord établies théoriquement par Euler. Elles ont été ensuite vérifiées expérimentalement par Chladni, Strehlke, et plus récemment par M. Lissajous.

92 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

Chacune des deux extrémités de la verge peut être placée dans trois conditions différentes :

1° On dit qu'une extrémité d*une verge est encastrée, lorsque celte extrémité est fixée de telle manière qu'elle ne puisse se déplacer, et qu'en outre, dans toute flexion, l'axe de la verge demeure, à cette extrémité, tangent à sa direction primitive. — On voit donc que, si Ton représente par j/ le déplacement du point dont la distance à l'extrémité encastrée est x, ce mode de fixation est défini analyti- quement par ces deux conditions que, pour or = o, on ait à la fois

y=o et

dx

On réalise ces conditions en serrant très-fortement l'extrémité de la verge dans un étau.

9° On dit qu'une extrémité d'une verge est appuyée, lorsque cette extrémité est assujettie de telle manière qu'elle ne puisse se dé- placer, et que cependant l'axe de la verge puisse faire, à cette extrémité, un angle quelconque avec sa direction primitive. — Ce mode d'assujettissement exige donc que, pour j;=o, on ait encore

y=o;

la première dérivée -j^ peut avoir une valeur quelconque, mais on

démontre que Ton doit avoir

Cette condition est d'ailleurs extrêmement dillicile à réaliser d'une manière satisfaisante.

3° Lorsqu'une extrémité d'une verge vibrant tran.sversalemenl est

entièrement libre, on démontre que, pendant la vibration, cette

extrémité est a.*jsujettie à ces deux conditions que, pour x = o, on

ait à la fois

d'y

et

d'Y ^ dx

PRODUCTION DU SON PAR LES SOLIDES. 93

La théorie et l'expérience montrent "qu'il n'y a pas de différence essentielle entre une verge courbe et. une verge droite, en sorte que les lois précédentes sont également applicables aux diapasons, avec la forme qu'on leur donne ordinairement. — On trouve encore d'autres applications des vibrations transversales des verges duns le violon de fer, dans le elaquebois, et dans l'harmonica à lames de verre.

368. Vibrations transversales des plaques* — Pour étu- dier la forme des figures nodales que détermine le mouvement vibra- toire dans les plaques , lorsqu'on fait varier la position des points par lesquels elles sont assujetties et celle des points par lesquels on les attaque, Chladni a encore employé le sable. — Voici quel- ques-unes des lois générales auxquelles conduisent ces expériences:

Pour des plaques homogènes de même forme et de même nature, Ips nombres de vibrations des sons qui correspondent à une même figure nodale sont en raison inverse de la surface et eti raison directe J(e l'épaisseur. — Il suit de là que, si deux-plaques sont des prismes géométriquement semblables, les nombres de vibrations sont en raison inverse des dimensions homologues.

Dans les plaques circulaires, les figures nodales sont des assem- blages de diamètres et de cercles.

Dans les plaques carrées ^ les lignes nodales, qui ont des formes très-variées, peuvent se ramener approximativement à des combi- naisons de droites parallèles aux côtés, et de droites parallèles aux diagonales.

Les vibrations des timbres et des cloches sont soumises h des lois identiques à celles des plaques ^'l

369. ITibrations des membranes. — La difficulté de com- muniquer à une membrane une tension uniforme et connue empêche qu'on puisse soumettre à une étude expérimentale bien rigoureuse les vibrations qui peuvent s'y produire. — L'expérience apprend cependant que les harmoniques d'une même membrane forment,

(') Voir, à la fin de VAcouttiqitp, la noie compIi'menUure C, relative à une loi gén^^rale àes mouvements vibratoires.

Wî ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

Lorsqu'on veut étudier la position des nœuds , pour les vibrations correspondantes aux divers harmoniques, on saupoudre de sable ia face supérieure de la verge : on voit ce sable se rassembler, dès (|ue la verge est mise en vibration, sur les points qui correspondent à des nœuds. — On remarque en particulier que, dans le quatrième cas, celui où la verge est appuyée par ses deux extrémités, les nœuds sont tous équidistants entre eux : les nombres de vibrations qui correspondent aux divers harmoniques sont en raison inverse des carrés des longueurs des parties vibrantes. — Dans les autres cas, les parties vibrantes dans les(pielles la verge se divise, en pro- duisant un harmonique d'un ordre élevé, sont sensiblement égales entre elles, à l'exception des deux parties les plus voisines des extré- mités : les nombres de vibrations qui correspondent aux divers bar- moni(|ues sont, comme Ta montré M. Lissajous, sensiblement en raison inverse des carrés des longueurs des parties vibrantes éloi- gnées des extrémités.

Dans chacun de ces six modes d'assujettissement, le son fonda- mental rendu par une même verge et ses^rapports avec les harmo- niques successifs ont des valeurs particulières. Mais si Ton considère des verges diverses ayant leurs extrémités dans les mimes conditions, et produisant chacune le son fondamental, ou un harmonique de même ordre, on peut démontrer par Texpérience les lois suivantes, (|ui sont d'ailleurs conformes à la théorie :

1 ° Le nombre des vibrations est en raison inverse du cnrrf de la lonfrueur.

«i*" Dans les verges de section circulaire, le nombre des vibra- lions est proportionnel au diamètre.

3° Dans les verges de section rectangulaire, le nombre des vibra- tions est proportionnel à l'épaisseur, cVst-à-dire à la dimension paral- lèle aux vibrations; il est indépendant de la largeur, c'est-à-dire de la dimension de la section perpendiculaire à ia précédente. — Lors- que la largeur est considérable relativement h l'épaisseur, les verges reçoivent habituellement le nom de lames, mais cette différence d'a|>|)ellation n'implique aucune différence de propriét<is.

/i° Le nombre des vibrations est projHirtiomiel à ht rnciuv cnrrée (lu (juotleiU du coefficient délastirité par la densité.

96 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

comme ceux de tout autre corps sonore, une série discontinue; mais, lorsqu'on s'élève dans la série, les termes successifs se rapprochent tellement les uns des autres, que, dans la pratique, on peut regar- der une membrane comme capable de vibrer à l'unisson d'un son quelconque , à partir d'une limite inférieure déterminée.

La membrane du tympan paratt apte à vibrer à l'unisson d'un son absolument quelconque; mais on doit remarquer que, grâce à la chaîne des osselets, sa tension peut varier d'une manière continue entre des limites très-étendues.

370. iribrations des corps eristallisés. — Tout ce qui a été dit précédemment, soit de l'équilibre élastique, soit des mou- vements vibratoires des corps solides, convient exclusivement aux corps isotropes, c'esl-à-dire aux corps dans lesquels les propriétés physiques sont indépendantes de la direclion. Les corps non cristal" Usés et les corps cristallisés dans le système cubique sont donc les seuls auxquels les résultats précédents soient applicables.

Dans les corps appartenant à des systèmes cristallins autres que U système cubique, on doit considérer les propriétés élastiques comme variables avec la direction. — De là résulte une complication extrême, soit dans les phénomènes d'équilibre, soit dans les mou- vements vibratoires : la théorie indique qu'il ne faudrait pas déter- miner expérimentalement moins de si constantes distinctes, pour chaque corps, avant d'être en état de résoudre à l'avance les divers problèmes qu'on peut se poser.

On n'a abordé par l'expérience que le cas simple des plaques cir- culaires, taillées dans des substances qui, comme le spath ou le quartz, paraissent constituées symétriquement autour d'un axe déter- miné; pour interpréter les phénomènes observés, on les a comparés à ceux des plaques de bois taillées dans diverses directions relati- vement aux fibres. — Ces recherches ont montré que certaines jS- gures nodales qui, dans une plaque isotrope, peuvent affecter toutes les positions, ne peuvent se produire sur une plaque non isotrope que dans des positions déterminées. Ainsi, on ne peut obtenir la figure composée de deux diamètres rectangulaires que si ces dia- mètres sont dirigés, l'un parallèlement aux lignes de plus grande

PRODUCTION DU SON PAR LES SOLIDES. 97

résistance à la flexion, l'autre parallèlement aux lignes de moindre résistance.

L'influence de l'inégalité d'élasticité peut encore être rendue sen- sible par les vibrations d'une verge h section circulaire ou carrée; les vibrations transversales planes ne sont alors possibles que sui- vant deux directions rectangulaires qui ofl'rent, l'une un maximum de résistance à la flexion, l'autre un minimum de résistance. Une flexion initiale parallèle à tout autre plan a pour conséquence le mouvement plus ou moins complexe qui résulte de la coexistence de deux mouvements de période inégale, parallèles aux deux plans rectangulaires qu'on vient de définir.

11 faut remarquer enfin que l'inégalité d'élasticité intervient en- core, comme cause perturbatrice, dans laplupaii; des expériences qu'on effectue sur des corps regardés comme isotropes. Le travail méca- nique auquel les métaux ont été soumis, la trempe qu'a éprouvée le verre en se refroidissant, sont autant d'influences qui produisent presque toujours de légères variations d'élasticité, dans telle ou telle direction.

Vbbdet, ÎIÎ. — Coiii*s (II» |iliys. H.

PHÉNOMÈNES

PBODl'ITS

PAR LA SUPERPOSITION DES MOUVEMENTS VIRRATOIRES.

371. Du renforeenteiit des mmmm en séaiéral. — Le rai- sonnement par lequel on a explique plus haut (331) le renforce- ment du son d'une embouchure, par un tuyau susceptible de vibrer à Tunisson avec elle, peut évidemment être étendu au cas plos général oii un corps quelconque, capable d'entrer en vibration, se trouve en présence d'un autre corps vibrant.

L'observation fournit d'ailleurs iin grand nombre d'exemples de phénomènes analogues. — Ainsi, deux cordes réglées à l'unisson étant placées au voisinage l'une de l'autre, il suffit d'ébranler Tune d'elles pour que la seconde entre en vibration. Lorsqu'on chaote auprès d'une harpe ou d'un piano, on observe que les cordes mises à l'unisson de la note chantée se mettent à vibrer d'elles-mêmes. — Lorsqu'il se produit simultanément, dans un même lieu, un grand nombre de sons divers, et qu'on vient à approcher l'oreille d'un tuyau placé dans ce lieu, s'il arrive que l'un des sons 'produits soit à l'unisson du son fondamental de ce tuvau ou de l'un de ses bar- moniques, on constate que ce son prend une intensité remarquable.

Ce dernier phénomène a été récemment appliqué par M. Helm^ holtz à l'étude de la voix humaine. En employant une série de tuyaui de dimensions diverses, il a pu reconnaître que toute émission de voix, chantée ou parlée, est toujours composée de plusieurs sons de diverses hauteurs. Il est facile de constater, en outre, que si Ton analvse ainsi diverses vovelles. émises sur la même note musicale, on y reconnaît la coexistence de sons variables pour chaque voyelle eo particulier '^K

Si le son fondamental d'un corps est très-grave, les harmoniques d*un ordre élevé sont extrêmement rapprochés les uns des autres:

^*) Il («t commode de donner à ces tuyaux la forme d\me cavité sphérique S (fig. 3i3 ).

SUPERPOSITION DES MOUVEMENTS VIBRATOIRES. 99 alors, au-dessus d'une certaine limite, le corps devient, comme les membranes, à peu près également propre à vibrer à l'unisson de tous les sons possibles. — Ainsi s'explique l'utilité de la tabie d'harmonie dans certains Instruments, comme le piano ou la harpe; celle de la caiue, dans le violon ou le violoncelle. Il est d'ailleurs utile, ainsi que l'a montn^ Savart , que le son fondamental de la caisse d'uo violon présente un rapport déterminé avec le son fondamental des diverses cordes '".

Lorsqu'un corps est mis en vibration, et que les ébranlements qui lui ont été imprimés ne sont pas incessamment renouvelés, la somme de forces vives qu'il possède doit se dépenser d'autant plus rapidement que l'intensité des mouvements communiqués aux corps extérieurs est plus grande. On voit donc que le renforcement d'un son, produit par la communication du mouvement aux corps exté- rieurs, lui fait perdre en durée tout ce qu'il lui fait gagner en in- tensité. — Il peut arriver aussi que les appareils renforçants aient pour effet de concentrer dans des directions déterminées la force vive qui, sous la seule influence du corps sonore, se répandrait éga- lement dans tous les sens. Cette répartition inégale peut être facile- ment constatée, par exemple, en plaçant successivement l'oreille dans diverses positions autour d'un timbre armé d'un tuyau renforçant.

372. Dea ImncBivBtB et du «•■ résultant. — Supposons qu'en un même point de l'espace concourent, suivant des directions sensiblement parallèles, deux mouvements vibratoires ayant des pé-

préientanl une ouYerlure AB, et, k l'opposé de cetle ouverture, ud petil appendice Oi- niqa« creiu UN que l'on introduit dan» le conduit aiiditir eilerne. L'eipërience indique, ^ pour chaque grandeur de tujau, les dimensioUB les [dus

HtBoUgeuses de l'oLiverlure AB.

Pour Taire l'analyse d'un son parcelle méthode, A la-

^ quelle M. Uelmholli a donné un grand dé«ebpp»nent,

mploie une série de tuyaui semblables , qu'il désigne

le nom de réimnaUutÈ. L'observateur se place de

manière à bleu entendre le son qu'il se propose d'ana-

lyser, et il détermine, en plaçant successivement dans

pi. j,j l'oreille les divers résonnaleunt, quels sont ceux qui lui

donnent la sensation d'un renforcement considérable. ) Voir plua loin, i ta fin de VAeotulique.la note complémentaire D, relative au ren-

100 ÉLASTICITÉ KT ACOIJSTIQIE.

riodes différentes, T, T'. La vitesse de vibration de ce point, à un instant détermine^ ^ sera sensiblement la somme algébrique des deux vitesses que lui imprimeraient séparément ces deux mouve- ments vibratoires. — Or, si Ton suppose, en particulier, que les deux mouvements vibratoires qui concourent au point considén^ soient analogues à des mouvements pendulaires, les vitesses V, \\ imprimées par chacun d'eux à ce point, au même instant t, peuvent se représenter par les formules

V = A sin fîTT ('p ~^" '^ r' = A'sin'îTT (îf-^ Ô' ]•

Mais l'expression de la seconde vitesse peut s'écrire

'==A'sin^7r(.| + l9 + .{- + 6'--.j~6)

ou bien

r' = A'sin*î^[;[,^l9-i-(ô'--i9 + ^rp^)]-

La vitesse résultante du point que l'on considère est donc la même que si elle était produite par la combinaison de deux mouvements vibratoires ayant la même période T. mais présentant entre eux une différence de pha^e exprimée par

[t iT— T)"l y — g-h 'rpp, :

et, dans cette façon d'envisager le phénomène, si l'on considère le même point à divers instants successifs, la différence de phase des deux mouvements qui s'y combinent serait variable avec le temp*. Mais, si la durée des deux périodes T et T' est notablement supé-

rieure à leur différence T— T', le terme j^ varie notablement

moins vite que le ternie ^; il en résulte que, pendant la durée d'une

vibration ou d'un petit nombre de vibrations, l'effet produit diffère peu de l'effet qui résulterait de la combinaison de deux mouvements ayant même période et présentant une différence de phase cens-

SUPERPOSITION DES MOUVEMENTS VIBRATOIRES. 101

tante, égale à la valeur moyenne de l'expression précédente pendant cet intervalle.

En particulier, si l'on considère une époque déterminée t, telle que Ton ait

T/i' /s , tJ-Ti

on voit que, pendant les vibrations voisines de cette époque, les deux vitesses s'ajouteront sensiblement l'une à l'autre, et le mouvement résultant offrira le maximum d'intensité.

Au contraire, si l'on considère une autre époque l', telle que Ton ait

2'

on voit que, pendant les vibrations voisines de cette époque, les deux vitesses seront sensiblement opposées, et le mouvement résultant présentera le minimum d'intensité.

Donc, en définitive, si l'oreille est placée au point que l'on consi- dère, il se produira une succession de renforcements et d'affaiblisse- ments dans l'impression perçue. Il est facile de voir d'ailleurs que ces renforcements et ces affaiblissements doivent être périodiques et alternatifs; car, d'après ce qu'on vient de voir, il y aura renforce- ment aux époques successives

TT

TV

t.) — ( v - 7 -f- 1 ) 'r 3^' "

TV

t affaiblissement aux époques

102 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

On voit donc que Tintervaile d'un maximum au minimum qui le suit inunédiatement est égal à - jZTr' — ^®**^ succession de maxktÊm

et de mimma alternatifs et ëquidistants constitue le phénomène des battements.

Les époques absolues des maxima et des minima dépendent des valeurs de d et de ff^ et, par suite, de la situation de robservateur

par rapport aux deux corps sonores; mais l'intervalle de deux maxima

TT ou de deux minima consécutifs, rp_rp> est indépendant de la position

de l'obserxateur. — Donc, de quelque façon que Ton soit placé, on doit toujours percevoir, dans l'unité de temps, un nombre de

battements égala r^, ou |;;-— j. Mais, d'autre part, ^p et ^ ne

sont autre chose que les nombres de vibrations N et N' des deux sons dans l'unité de temps. Donc le nombre des battements perçus en mme seconde est égal à la différence absolue des nombres de vibrations campUtes des deux sons qui les produisent^^K

Le phénomène des battements peut s'observer en faisant résonner à la fois deux corps sonores quelconques dont les nombres de vi- brations soient entre eux dans un rapport voisin de l'unité ; par exemple, en faisant parler simultanément deux tuyaux de grande longueur, présentant entre les sons qu'ils produisent une différence d'un ton ou d'un demi-ton.

Lorsque les battements produits par deux sons se succèdent à des intervalles de temps très-rapprochés, l'oreille devient impuissante â les distinguer; elle ne perçoit plus qu'un son résultant, dont la hau- teur est donnée précisément par le nombre des battements prodoits en une seconde. — Ce phénomène parait avoir été remarqué pour la première fois par le musicien Tartini.

^'Ml n'est pas nécessaire à Texactitude des raisonnements que les mouvemeoli fibra- toires combinés soient des mouvements semblables à ceux d'un pendule. Il solBt ffs% chaque vibration complète soit la succession de deux oscillations égales et opposées.

On peut remarquer également que , si les nombres de vibrations des deux sons qui pro- duisent les battements sont de la forme ^N et ib (N H- i), le nombre entior fc est à h fois la différence et le plus grand commun diviseur des deux nombres. Cette remarque, ineiac- iement généralisée, a conduit plusieurs auteurs à un énoncé tout à fait erroné de la loi des battements. (Voyez, à la fin de VÀcotutiquê, la note complémentaire E, sur révaluatioo nomérique des sons par les battements. )

SUPERPOSCTION DES MOUVEMENTS VIBRATOIRES. 103

373. WLmprémemUMmm graphique du phéBaméne dea

fe«««cmMit«, Ml m*reB du piMmùtosraphe. — On peut

rendre sensible à l'œil l'état vibratoire de l'air, dans les circonstances

oà il se produit des battements ou un son résultant, au moyen du pfaonautographe de Scott (fîg. BsA).

L'appareil se compose d'un paraboloîde de révolution A, dont la surface intérieure réfléchit en son foyer les ondulations sonores qui viennent la rencontrer parallèlement à son axe ; une membrane MM', tendue en ce foyer, vibre sous l'influence de ces ondulations, et on

stylet très-l^er, fixé à la membrane, trace sur un cylindre tour- nant C une courbe ondulée, représentative de l'état vibratoire de l'air. Gomme une membrane ne peut réellement vibrer qu'à l'unisson

104 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

de-certains suns dëtermiiirs, il est nécessaire, dans chaque eipérience» de uiudifier un peu les conditions dans lesquelles elle se trouve; on y parvient au moyen d'une pièce métallique disposée de manière à pouvoir être appuyée à volonté sur divers points de la membrane. — Lorsqu'on entend des battements, les sinuosités de la courbe ondulée, en s'accusant plus ou moins, rendent manifestes les ren- forcements et les affaiblissements alternatifs du mouvement vibratoire itig. 3 2 5).

37/|. CoeiLÉsteiice de plmiicuM Bi^uveHieBto même eorpe •en^re. — Tout corps sonore étant apte à produire une série déterminée de sons, il résulte du principe général de la su- perposition des petits mouvements qu'un même corps peut exécuter une infinité de mouvements complexes, formés chacun par la super- position de divers mouvements simples. — Si le nombre des mouve- ments simultanés qui composent un mouvement complexe n'est pas trop considérable, l'oreille peut les distinguer les uns des autres.

On peut citer, comme exemples de ce phénomène général :

La production simultfiuée du son fondamental et des premiers harmoniques par un même cor[>s : par un tuyau sonore, par une corde vibrante, par un diapason, un timbre, etc.

L existence simultanée du mouvement transversal et du mouve- ment longitudinal dans une corde ou une verge. — 11 est à peu près impossible de faire vibrer longitudinalement une verge de quelque longueur, sans donner en même temps naissance à celui des har- moniques transv(>rsau\ qui est le plus voisin du son longitudinal.

La coexistence, dans une verge de section rectangulaire, de deux mouvements parallèles aux deux dimensions transversales. — (le dernier cas présente assez d'intérêt pour mériter qu'on en fasse une étude particulière.

375. C^eiKlstenee de dem m«uvemeBts laires entre euiL, dans une Teripe de seetioB reetoi

laire. — i" Si Ton considèn» d'abord le cas où la verge est hieèi

honK^nc et de neclioii carrée, les deux mouvements vibratoires sont

exactement de même |>ériode T: alors, les |)rojeclions d'une mole-

SUPERPOSITION DES MOUVEMENTS VIBRATOIRES. 105

cule quelconque de la verge sur deux axes rectangulaires, menés par la position d'équilibre de cette molécule parallèlement aux deux plans de vibration, peuvent se représenter par

Ç= a COSaTTrp^

V = b COS 371 f ,ç, + 6] ^

ce qu'on peut écrire

? t

a 1

T-= cos37r j cosaTTo^ - smaTTj, smaTTft'.

On tire de là

— COS aTTÔ — r = •'^i" a'rô sin a-Tr »'

et

? . '

~ sin aTTÔ -= sin aTrô cos aw ,, ;

par sui(e, en élevant au carré ces deux dernières équations et les ajoutant membre à membre,

?* , ^^ 2»;| ^ .... ^

"Y + iT T~cos a7r6/= sm-* awc/-

rt^ Ir ah

Donc, en général, un point quelconque d'une verge homogène, de section carrée, décrit une ellipse.

Si, en particulier, la différence de phase 6 des deux mouvements rectangulaires est telle que Ton ait cosaTrfl -— i, cette ellipse se réduit à une droite ayant pour équation

I

»?

T-= 0.

a b

Si la différence est telle que l'on ait cosa7rS= - i, l'ellipse se réduit à une autre droite ayant pour équation

— f- - = o. a b

106 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

Si la différence de phase est telle que Ton ait cos37rô= o, l'équa- tion précédente devient

? + F = "

c'est-à-dire qu'elle représente une ellipse ayant ses axes paralUles aux phins des deux vibrations élémentaires.

Enfin si, avec la condition précédente, on a aussi a=A, l'équa- lion devient

c'est-à-dire que l'ellipse devient un cercle,

2*" Lorsque la section de la verge n est pas exactement carrée, ou lors- que, par suite d'une inégalité de structure, la résistance à lajlexion nest pas la même dans les deux plans parallèles aux côtés de la section, les durées des deux vibrations élémentaires ne sont plus les mêmes. — Mais, au lieu de supposer que les deux mouvements vibratoires aient des périodes différentes, il est aisé de montrer, comme on l'a déjà fait pour une question analogue (372), qu'il est permis de les considérer comme ayant la même période et une différence de phase variable avec le temps. Tout se passe donc comme si, dans le premier cas que Ton vient de considérer, on supposait que 0 fût variable avec le temps; chaque molécule vibrante décrit donc une ellipse, dans laquellel'excen- tricité et la position de la ligne des absides, varient sans cesse, la somme des carrés des longueurs des axes demeurant constante.

3"" Lorsque les deux dimensions transversales de la verge sont entre

elles dans un rapport simple — > les expressions des projections d'une

molécule vibfante sur les deux axes menés par sa position d'équi- libre deviennent

i = a cosaTT j >

icosaw / h 6

chaque point de la verge décrit donc une courbe représentée par l'équation qu'on obtient en éliminant t entre ces deux équations. —

SUPERPOSITION DES MOUVEMENTS VIBRATOIRES. 107

La forme de cette courbe dépend, pour une même verge, de la valeur particulière qu'on donne à la quantité 6.

4" Enfin, lorsque le rapport des deux dimensions de la verge diffère

peu du rapport simple — > le mouvement d'une molécule peut se repré- senter en admettant que, dans l'équation de la courbe fournie par l'élimination de t entre les deux équations précédentes, la quantité 6 soit variable avec le temps ^^l

Pour observer les diverses formes de la courbe décrite dans ces différents cas , il suffit d'attacher, en l'un des points d'une verge élas- tique fixée par une de ses extrémités, une sorte de perle brillante formée par une petite sphère de verre pleine de mercure; en faisant réfléchir sur cette perle la lumière du soleil ou d'une source lumi- neuse quelconque, on distingue, sous la forme d'une courbe con- tinue, la succession des positions qu'elle prend pendant le mouvement vibratoire. — C'est l'instru^ient imaginé par M. Whealstone, et dé- signé sous le nom de kaléidophone,

376. Etude optique des mouvemeiits iribratolres. — Eil-

périeiiees de HI.IjImMiJous. — Soit un faisceau lumineux, rendu convergent par une lentille à long foyer, et réfléchi, avant d'atteindre son point de convergence, sur un petit miroir attaché à un corps sonore quelconque; supposons, en outre, que les vibrations de ce corps soient parallèles au plan de réflexion. Si l'on fait vibrer le corps sonore, le point de concours du faisceau lumineux oscillera, sans sortir du pian de réflexion : il décrira donc une petite ligne droite, de longueur proportionnelle à l'amplitude des vibrations.

Supposons maintenant que le faisceau lumineux soit encore réflé- chi, avant d'atteindre son point de convergence, par un miroir immobile, et que le plan de cette seconde réflexion soit perpendi- culaire au plan de la première : lorsqu'on mettra en vibration le corps sonore qui porte le premier miroir, le point de concours du faisceau décrira alors une droite égale et parallèle à la précédente. — Si maintenant le second miroir est lui-même porté par un corps

^•^ Voir, la fin de VÀcoustique, la note complémentaire F, sur la composition des mou- vements vibratoires rectangulaires.

108 ÉLASTICITÉ ET ACOUSTIQUE.

soiiurc dont les vibralious soient parallèles au plan de la seconde réflexion, le point de concours du faisceau lumineux exécutera si- uiultanéinent deux systèmes de vibrations perpendiculaires Fun sur l'autre. Les périodes des deux vibrations élémentaires du point lumi- neux seront les mêmes cpie les périodes des deux vibrations sonores correspondantes, et il y aura proportionnalité entre les amplitudes. On pourra donc reproduire de la sorte, sur un écran, toutes les courbes qu'on a définies dans le paragraphe précédent ^*^

11 suit de là que, si les deux corps sonores exécutent des vibra- tions dont les périodes aient entre elles un rapport simple déter- miné, le point lumineux décrira indéfiniment l'une des courbes qui ont été indiquées. — En particulier, §i les deux corps sont exacte- ment à Tunisson, le point lumineux décrira une droite ou une ellipse immobile, suivant la valeur que présentera le retard ou l'avance d'une des vibrations sur l'autre. — Si l'unisson, ou en général le rapport simple des deux mouvements vibratoires, est altéré d'une très-petite quantité, on en sera averti par le change- ment de forme et le déplacement graduels de la courbe décrite. — On a donc, dans ce phénomène, un moyen très-sensible de vé- rifier l'accord de deux corps sonores quelconques.

'' On pourra l'aire les inëiiies (ibsenations Mir un faisceau divergent. L'oeil, anuéd^an verre, s'il esl nécessain», n'inira i|ii*à regarder l'image réflérbie du poiiil d\iii le laiscein est f'mané.

NOTES COMPLÉMEINTAÏRES

RFwLATIVKS A DIVKRSES Qï ESTIONS D ACOUSTIOUE

NOTK A.

SUR LF.S EFFETS DES RISfLKXIOXS MULTIPLlîS l»CI S0^ DANS UN TUYAC.

Lorsqu'il se produit, à l'une des extrémilés d'un tuyau, un mou- vement vibratoire continu, il y a, au bout d'un certain temps, et en chaque point du tuyau, superposition d'une multitude d'ondes qui ont été successivement réfléchies à chacune des extrémités; les inten- sités de ces ondes successives doivent d'ailleurs être considérées comme décroissantes, à mesure que le nombre des réflexions qu'elles ont éprouvées est plus considérable.

Admettons que, dans la réflexion de chaque onde sur une extré- mité ouvertey la vitesse et la condensation soient multipliées respec- tivement par des facteurs constants m et n, le facteur m difl*éranl peu de + 1? et le facteur w différant peu de - i. Admettons de même que, dans la réflexion sur une extrémité /mw^^, ces mêm& grandeurs soient multipliées par d'autres facteurs constants m' et w', respectivement peu différents de — t et de 4- i ^^K

Si l'on considère, en particulier, un tuyau ouvert à ses deux extré- mités, et si l'on désigne par R son embouchure et par S l'extrémité opposée, les ondes dont les mouvements se combineront, h l'ins-

^^) Celle hypotlii'sc osl la plus simple et la pitis probable qu^on puisse faire, dès qu'on a égard h la transmission du son dans l'atmospbère eitéricurc, qui osl si évidemment incompatible avec ré|;alité alisobie dos vibrations incidentes et des vibrations rénôcliios. Il est vrai qu'en nngmenlant suflisnmmenl la résistance du fond d'un luyau on pont faire en sorte que les valeurs absolues de m' et de n soient aussi voisines de l'unité qu'on Ip le voudra; mais il n'en est pas ainsi dos valeurs de m et de n, (|ui paraissont loujoiirs son- siblemenl inférieures à l'unilé, quoi que soit le diam^lro du luyau.

110 NOTES COMPLÉMENTAIRES.

tant ^ en un point du tuyau situé à une distance x de Tembou- chure, comprendront :

1® Une onde directe, dont la vitesse de vibration sera

ro = Asin97r f ^ — r j;

9° Une onde réfléchie en S, dont la vitesse de vibration sera

t il — x

4 . (i il — x\ Vj = m\ sin 97r ( ^ j — 1 ;

3*" Une onde réfléchie successivement en S et en R, dont la vi- tesse de vibration sera

i il-hx

.... f t 2i-hX\

V2=m^ A sm 97r ( j ^- — 1 ;

4° Une onde réfléchie successivement en S, K et S, dont la vi- tesse de vibration sera

àl-x

r3 = m^Asin qtt Ij r — 1;

5^ Une onde réfléchie successivement en S, R, S et R, dont la vitesse de vibration sera

4A • f^ àl±X\

etc. , etc.

En raison de la rapidité avec laquelle le son se propage, le nombre des ondes réfléchies est bientôt très-grand, et comme le aDelFicient m^, qui entre dans l'expression de la vitesse de l'onde qui a subi p réflexions, décroît en progression géométrique d'une onde à l'autre, la vitesse résultante au bout d'un temps assez court ne diffère pas sensiblement de la somme de la série

cette série étant prolongée indéfiniment.

Pour trouver cette somme, on remanjue d'abord que la série V est la somme de deux autres, savoir :

A siuQwf ^ — y j + m^ A sinQw (^ j^ — j

+ I»* AsmaTT Ij >r — 1 -f • • •

RÉFLEXIONS MULTIPLES DU SON DANS UN TUYAU. 111 et

mAsinair l^ t — j +m*A siiiaw f q; r— j + . • . .

Or, si Ton pose

ces deux séries parallèles peuvent s'(^crire, au moyen des exponen- tielles imaginaires, sous la forme

r yVCTT 2 (y — 5)V— i , d (r — is) V— i

et fflA

re(-^)^ + m'e(^-")^ + m*;^-3')^+ ..

Si Ton prend p termes dans chacune des deux lignes dont se compose chaque série, les formules de sommation des progressions géométriques réelles ou imaginaires conduisent aux expressions

et

av/=^L i-mV-'^~

'--yH'^e-(y-p')v^1

i —m é» J

mk f,('-OV^-roV,[»-«'-^')'l^^

1 —m «

(,_,)vC7_

,_;„«,'V^ j'

qui peuvent s'écrire, en effectuant les opérations,

A ( ■t.n,'P+')fly-(''-')*1^^-«.-tj'-<P-')'l^^P

112

NOTES COMPLÉMENTAIRES.

et

.(»-

_H(A_

■i\— 1

^ [z-(p+.)ilV^jl

i

i +m —m \e -he

)

En revenant aux lignes trigonoraétriques, on obtient

. sin y— m'sin(j-4-.v) — m*''sin(r — /)5)-hm*''"^*sin [.T— (p— i)*]

I 4- m' — 3 m' COS. V

el

. sin {z- s)-m*sïn 2 — m*''sin [r — (/)H-i)5]-+-m*'"*" sin(2 — p.ç)

m A 4 s »

1 H- m — umcos.v

el roinine m^^' el?n''^"^ * décroissent au-dessous de toute limite, h mesure que ji^ augmente, il est clair que la somme de la série V, indéfiniment prolongée, se réduit n

. . sin r -4- m sin (c -5) — m*sin (r-i-.v) — m'sin r

1 -+-m am cosi

ou, en remplaçant maintenant y, zei s par leurs valeurs.

sm 27r

(t-I)

+ W Sin QTT

'-)

\=^A^

- m'sm îiTrI yp H î- — j — m sin ^^ ( 'T + t 1

1 H-m^ — am*cos /itt

/

En développant les fondions trigonomélriques, cette expression devient

A

\

• 1 -+- m — am COS 'iTT -r

a* . il

cos *^7r j + m cos 97r — >-

— nr cos97r — > —

— m^ cos *2ir V ) sm ^tt q^

a/ — a"

/ . X , . a/ .r , „ . a(-a"

- ( sm 37r r + m sm 9.n — v h m^ sm qtt — ^

% • ^> n

4- nr sm ^w y I cos qtt j

RÉFI.KXIONS MULTIPLES 1)1^ SON DANS UN TUYAU. 113 Mais, en {général, si Ton pose tan{}«î7rô = rji on a

MsinâTTrj, -^Ncosaw?p==i/M2+N2sin qtt (t — ^)

Donc, en posant

1 4- m^) sin 27r r + m ( i 4- m) sin qtt — r —

tang 27rô =- i ,

(i — m\l (OS air s- + m(i — mjcosair — r —

on obtient, après des transformations faciles à effectuer,

i , l — x

1 4- m 4- 2m cos /|7r

* ' 14- m — 27?r cos 4w

Aux deux extrémités du tuyau, c'est-à-dire pour a?= o et pour X = /, les valeurs respectives du coefficient constant qui entre dans la valeur de V^ se réduisent à

1 4- m'4- am cos47r ^ A2 ^

el a

1 4- m* — 2m* cos ^lt 5-

.2 (14-mT .

1 4- m* — 2m* cos t\Tt Y

el il est facile de voir que ces expressions sont l'une et l'autre maxima toutes les fois que

cos 'ITT v= 1 .

c'esl-à-dire tontes les fois que

/ ^

D'ailleurs, c'est presque uniquement par les extrémités que le mouvement vibratoire de l'air contenu dans un tuyau ouvert, à parois suffisamment résistantes, se communique à l'atmosphère

Verdet, !!!. — fours de phys. H. 8

114 NOTES COMPLÉMENTAIRES.

extérieure. Les sons d'intensité maxima sont donc précisément ceux qui satisfont à la condUion qui rend maxima l'intensité du mouve- ment vibratoire aux deux extrémités.

Des calculs semblables pourraient être appliqués aux tuyaux fermés, — Ils conduiraient encore à une conclusion conforme aux lois de Bernoulli.

NOTE B.

SUR LA GOMPRESSIBILITE DES LIQUIDES.

Les compressibililés absolues des liquides qu'on trouve dans les ^[émoires de M. Régna ult ou de ses élèves, et qui ont passé de là dans plusieurs Traités de physique, ont été calculées en admettant, entre les coefficients h et k qui ont été défims plus haut (341), des relations déterminées : ces relations elles-mêmes avaient été dé- duites par M. Lamé d'une ancienne théorie de l'élasticité, dans laquelle on faisait usage des formules générales qui ont été don- nées en note à la page 81, en supposant, dans ces formules,

X = (À.

Il résultait de la même théorie que, lorsqu'un cylindre est soumis à une traction dans le sens de son axe, la contraction linéaire trans- versale doit être le quart de rallongement suivant l'axe.

Wertheim a fait voir que, dans le cas du verre et des principaux métaux, la contraction transversale est inférieure à cette valeur, et on en a conclu que, au moins pour cette classe de corps, on doit avoir

A

Si l'on examine l'influence que l'hypothèse inexacte X = |ia a dû exercer sur les formules de calcul adoptées de confiance par M. Regnault, on reconnaît que ces formules conduisent à attribuer à k une valeur trop grande, h étant donné immédiatement par l'ex- périence. Par conséquent, les valeurs de J, ou de la compressibilité absolue, ont été estimées trop haut et ne peuvent être considérées que comme des limites supérieures.

SUR UNE LOI GÉNÉRALE DES MOUVEMENTS VIBRATOIRES. 115

Or, on trouve dans le Mémoire de M. Regnauit trois valeurs dis- tinctes de la compressibilité absolue de Teau, savoir :

Dans les expériences faites avec un piézomètre de cuivre rouge. . 0,0000/1771

laiton 0, 0000/1899

— verre 0,0000/1668

La valeur de la compressibilité absolue de l'eau est donc infé- rieure à o,oooo&668. D'autre part, on a vu plus haut qu'elle doit être supérieure ào,oooo&685.La conclusion à tirer de ces résultats, en apparence contradictoires, c'est qu'on ne peut pas compter sur l'exactitude du troisième chiffre significatif des nombres précédents, et qu'on doit regarder la compressibilité de l'eau comme comprise entre o,oooo&6 et 0,000047. — Si l'on admet qu'elle soit égale à o,oooo465, on en conclut pour la vitesse de propagation du son dans l'eau, à la température de 8 degrés, la valeur i46o mètres par seconde. L'expérience directe avait donné, comme on l'a vu, la valeur i435 mètres par seconde : la différence qui existe entre ces deux résultats est entièrement explicable par l'incertitude de la vraie valeur de la compressibilité.

NOTE C.

SUR UNE LOI G^N^RALE DES MOUVEMENTS VIBRATOIRES.

Savart a découvert que des tuyaux de formes semblables, sem- blablement embouchés, rendent des sons dont les nombres de vibra- tions sont inversement proportionnels aux dimensions homologues. La même loi s'applique à tous les mouvements vibratoires consi- dérés en acoustique.

Ainsi, par exemple, le rapport des nombres de vibrations trans- versales N et IN' de deux cordes rendant chacune le son fondamental est donné, d'après la formule de Taylor (365), par la relation

or, si l'on désigne jwir a et q les sections des deux cordes, par à

s.

116 NOTES COMPLÉMENTAIRES.

elS^ les densités des matières qui les constituent, cette relation peut s'écrire

Si maintenant on suppose que les cordes soient des cylindres de même nature, géométriquement semblables, et que les tensions rapportées à runité de section soient éfjales, ce rapport se réduit sim- plement au rapport inverse des longueurs

^'~ i '

Si deux verges de section rectangulaire et de même nature vi- brent parallèlement ù la même dimension, et dans des conditions identiques quant à leurs extrémités, le rapport de leurs nombres de vibrations (367) est donné par la relation

N _£^r

N' "" e' P '

si Ton suppose que ces deux verges soient géométriquement sem- blables, c'est-à-dire qu'elles aient des dimensions transversales pro- portionnelles à leurs longueurs, la valeur du second membre se réduit encore au rapport inverse des dimensions homologues.

Si deux plaques sont des prismes semblables, leurs surfaces sont proportionnelles aux carrés de leurs épaisseurs, et le rapport de leurs nombres de vibrations se présente encore sous la même forme.

Cauchy a fait voir que la loi est tout à fait générale ^^^ : ce n'es! qu'une conséquence très-simple de la forme linéaire des équations du mouvement vibratoire des corps élastiques , et des équations par lesquelles on représente les conditions relatives aux limites de ces corps.

''' Mémoivex de V Académie dex sciences , t. IX, p. i i8.

SUR LE RENFORCEMENT DES SONS. 117

NOTE D.

SUA LE RKNFOBGEMENT DES SONS.

Soit un point mobile, sollicité par une force dirigée vers un centre fixe et proportionnelle à la distance. — Si la vitesse initiale est nulle, ou passe par le centre fixe, le mouvement du point aura lieu sur la droite qui passe par la position initiale et par le centre Hxe, et sera déterminé par l'équation di